Что такое сигма-алгебра? Определение и примеры

Резюме
В этом уроке рассматривается важность сигма-алгебры в теории вероятностей. Сигма-алгебра — это структура, содержащая все измеримые события выборочного пространства, позволяя определить меру вероятности. С помощью практических примеров, таких как подбрасывание монет и время жизни электронного устройства, объясняется, как сигма-алгебра строится из частей выборочного пространства. Также представлена сигма-алгебра Бореля, связанная с непрерывным выборочным пространством, и объясняются ее борелевские события.

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ:
По завершении этого урока студент сможет:

Понять определение и характеристики сигма-алгебры как математической структуры, позволяющей определить меру вероятности.
Определить элементы, составляющие сигма-алгебру, и их связь с измеримыми событиями выборочного пространства.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИГМА-АЛГЕБРЫ
СИГМА-АЛГЕБРА В ПОДБРАСЫВАНИИ МОНЕТ
СИГМА-АЛГЕБРЫ В НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЯХ

Измеримые события появляются в пространстве вероятностей через сигма-алгебру. С помощью этой идеи интуитивно понятное понятие преобразуется в формально математическую структуру, позволяющую определить меру вероятности.

Определение сигма-алгебры

Сигма-алгебра $\Sigma$ (или σ-алгебра) — это структура, содержащая все измеримые события выборочного пространства. Говорят, что пара $\Sigma_{\Omega} = (\Omega, \mathcal{A}_{\Omega})$ является σ-алгеброй выборочного пространства пространства $\Omega$ , если выполняются следующие условия:

Все объекты $E\in\mathcal{A}_\Omega$ называются Событиями $\Omega$ .

Сигма-алгебра при подбрасывании монет

ПРИМЕР 1

При подбрасывании одной монеты, σ-алгебра определяется как

\Sigma_{1m}=(\Omega_{1m}, \mathcal{A}_{1m})

, где

$\Omega_{1m}= \{C,S\}$
$\mathcal{A}_{1m}= \{\emptyset,\{C\},\{S\}, \Omega_{1m}\}$

Каждый элемент $\mathcal{A}_{1m}$ является событием, которое определяется следующим образом:

$\emptyset$ «Не выпадает ни орёл, ни решка» (это невозможное событие).
$\{C\}$ «Это событие, когда выпадает орёл.»
$\{S\}$ «Это событие, когда выпадает решка.»
$\Omega_{1m}= \{C,S\}$ «Выпадает одно из двух: орёл или решка» (это достоверное событие).

ПРИМЕР 2

Если вместо одной монеты бросаются две, возможная σ-алгебра

\Sigma_{2m}=(\Omega_{2m}, \mathcal{A}_{2m})

может быть получена из частей

\Omega_{2m}

. Таким образом, у нас есть следующее:

$\Omega_{2m}= \{(C,C);(C,S); (S,C); (S,S)\}$
$\mathcal{A}_{2m}=\mathcal{P}(\Omega_{2m}) = \cdots$ $\cdots = \{\emptyset; \{(C,C)\}; \left\{(C,S)\}; \{(S,C)\}; \{(S,S)\}; \cdots \right.$ $\cdots; \{(C,C);(C,S)\};\{(C,C);(S,C)\};\{(C,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,S);(S,C)\};\{(C,S);(S,S)\};\{(S,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,C);(C,S);(S,C)\};\{(C,C);(C,S);(S,S)\}\cdots$ $\left.\cdots; \{(C,C);(S,C);(S,S)\}; \{(C,S);(S,C);(S,S)\}; \Omega_{2m}\right\}$

Каждый элемент $\mathcal{A}_{2m}$ является событием $\Omega_{2m}$ . Некоторые из них:

$\emptyset$ «Нет никакого результата» (это невозможное событие).
$\{(C,C)\}$ «Выпадает орёл два раза подряд.»
$\{(C,S)\}$ «Сначала выпадает орёл, затем решка».
$\vdots$
$\{(C,C);(C,S)\}$ «Первый — орёл, второй — что угодно».
$\{(C,C);(S,C)\}$ «Первый — что угодно, второй — орёл».
$\{(C,C);(S,S)\}$ «Оба броска дают одинаковый результат».
$\vdots$
$\{(C,C);(C,S);(S,S)\}$ «Если первый — решка, то второй тоже решка, иначе второй — что угодно».
$\{(C,C);(S,C);(S,S)\}$ «Если первый — орёл, то второй тоже орёл, иначе второй — что угодно».
$\vdots$
$\Omega_{2m}$ «Получается любой возможный результат» (достоверное событие).

Сигма-алгебры в непрерывных случаях

ПРИМЕР 3

Для времени работы (измеряемого в часах) электронного устройства, которое может выйти из строя в любой момент, σ-алгебра

\Sigma_e = (\Omega_e, \mathcal{A}_e)

определяется следующим образом:

$\Omega_e = [0, \infty[$
$\mathcal{A}_e = \{I \; | \; I \subseteq \Omega_e \}$

Таким образом, интервалы $I_t = ]0,t[\in\mathcal{A}_e$ могут быть интерпретированы как «электронное устройство работает исправно в течение интервала времени $t$ часов подряд, пока не выйдет из строя.»

Сигма-алгебра вероятностей, связанная с непрерывным выборочным пространством, также известна как борелевская σ-алгебра, и ее события известны как борелевские.

Просмотры: 108

Что такое сигма-алгебра? Определения и примеры

Что такое сигма-алгебра? Определение и примеры

Определение сигма-алгебры

Сигма-алгебра при подбрасывании монет

Сигма-алгебры в непрерывных случаях

Добавить комментарий