Уравнение эллипсов и окружностей

Резюме:
В этом уроке объясняется вывод уравнения эллипсов, исходя из их геометрического определения, которое гласит, что сумма расстояний от любой точки на эллипсе до двух фиксированных фокусов постоянна. Через детализированное алгебраическое развитие выводится общее уравнение эллипсов и их каноническая форма, а также устанавливается связь между эллипсами и окружностями, показывая, что окружность является частным случаем эллипса, когда полуоси равны.

Учебные цели:
В конце этого урока студент сможет:

Вывести уравнение эллипсов, исходя из их геометрического определения.
Распознать общую форму и каноническую форму уравнения эллипсов.

СОДЕРЖАНИЕ
Геометрическая формулировка
Вывод уравнения эллипсов
Общее уравнение эллипсов
Каноническое уравнение эллипсов
Редукция к уравнению окружностей

Геометрическая формулировка

Чтобы получить уравнение, описывающее эллипсы, нам нужно рассуждать так же, как и при рассмотрении парабол. Эллипс — это множество всех точек на плоскости, таких что сумма расстояний между ними и двумя точками, называемыми фокусами, всегда остаётся постоянной.

То есть выполняется следующее условие:

$d(f_1,p) + d(f_2,p) = константа$

Вывод уравнения эллипсов

Исходя из геометрического определения эллипсов, мы можем вывести алгебраическое выражение, которое их описывает. Для упрощения задачи мы предположим, что фокусы находятся в точках $f_1 =(-c,0)$ и $f_2 =(c,0),$ и если точка $p=(x,y)$ лежит на эллипсе, то выполняется следующее условие:

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$

Где $a\in\mathbb{R}$ — это фиксированная константа. Исходя из этого, мы можем провести следующий вывод:

(1)	$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$	; Геометрическое определение эллипса
	$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
(2)	$(x-c)^2 + \cancel{y^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + \cancel{y^2}$	; возведение в квадрат (1)
	$(x-c)^2 = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2$
	$\cancel{x^2} -2xc + \cancel{c^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \cancel{x^2} +2xc + \cancel{c^2}$
	$-2xc = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} +2xc$
	$4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 4a^2 +4xc = 4(a^2 + xc)$
	$a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + xc$
(3)	$a^2 [(x+c)^2 + y^2] = (a^2 + xc)^2$	; возведение в квадрат (2)
	$a^2 [x^2 + 2xc + c2 + y^2] = a^4 +2a^2xc + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + \cancel{2xca^2} + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + \cancel{2a^2xc} + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + x^2c^2$
	$x^2 (a^2 - c^2) + a^2 y^2 = a^4 - a^2 c^2 =a^2(a^2-c^2)$
	$\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{a^2-c^2} = 1$
(4)	$0\lt a^2 - c^2 =: b^2$	; Число, представленное $b^2$ , положительно, что видно на рисунке.
(5)	${\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{b^2} = 1}$	; Из (3) и (4)
	$\boxed{\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1}$

Это то, что мы называем «уравнением эллипсов».

Общее уравнение эллипсов

Уравнение, которое мы только что получили, можно преобразовать в его общую форму с помощью преобразований сдвига, заменив $x\longmapsto (x-h)$ и $y\longmapsto (y-k).$ Это приведёт нас к общей форме уравнения эллипсов:

$\boxed{\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1}$

Это эллипс с центром в точке $(h,k)$

Каноническое уравнение эллипсов

Выполняя алгебраические преобразования, мы получаем каноническое уравнение эллипсов:

(1)	$\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; общее уравнение эллипсов
	$b^2 (x-h)^2 + a^2(y-k)^2 = a^2 b^2$	; Умножить всё на $a^2b^2$
	$b^2 [x^2-2xh+h^2] + a^2[y^2-2yk + k^2] = a^2 b^2$	; раскрытие квадратов
	$b^2 x^2-2hb^2 x + h^2b^2 + a^2 y^2-2ka^2y + k^2a^2 = a^2 b^2$	; раскрытие скобок
	$b^2 x^2- 2hb^2 x + a^2 y^2-2ka^2y +(h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2) = 0$	; группировка констант

В этом последнем выражении мы можем сделать замены $A:=b^2,$ $B:=-2hb^2,$ $C:=a^2,$ $D:=-2ka^2$ и $E:=h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2.$ Таким образом, уравнение эллипсов может быть записано в виде:

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

Это то, что мы называем «каноническим уравнением эллипсов».

Из этих выводов можно сделать некоторые ограничения для констант канонического уравнения. Самое важное заключается в том, что $A$ и $B$ должны иметь одинаковый знак; в противном случае мы будем иметь дело с гиперболой, а не с эллипсом. Существует ещё несколько ограничений для констант канонического уравнения, но их рассмотрение сейчас нецелесообразно; мы подробнее рассмотрим это при характеристике эллипсов и гипербол.

Редукция к уравнению окружностей

Когда мы будем обсуждать характеристику эллипсов, мы рассмотрим, что константы $a$ и $b$ в общем уравнении соответствуют полуосям эллипса. Если сделать оба полуоси равными, установив $a=b=r,$ то эллипс станет окружностью с радиусом $r.$

Общее уравнение окружностей

Таким образом, мы получаем общее уравнение окружностей:

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

Каноническое уравнение окружностей

Аналогичным образом, мы получаем каноническое уравнение окружностей: