Теорема Сэндвича для вычисления пределов
Резюме:
Этот урок представляет Теорему Сэндвича, ключевой инструмент в математическом анализе для оценки сложных пределов с использованием более простых функций, которые ограничивают сверху и снизу. Предлагается графическое объяснение и формальное доказательство, за которыми следуют практические примеры. Цель состоит в том, чтобы студенты поняли, как применять эту теорему для более эффективного вычисления пределов.
Цели обучения:
После завершения этого урока студент сможет
- Понять полезность Теоремы Сэндвича в вычислении пределов.
- Определить функции, которые могут ограничивать целевую функцию для применения теоремы.
- Применять Теорему Сэндвича для вычисления сложных пределов.
- Визуализировать концепцию Теоремы Сэндвича графически.
- Доказать Теорему Сэндвича формально.
Содержание:
Введение
Графическая идея Теоремы Сэндвича
Доказательство Теоремы Сэндвича
Примеры
Введение
Польза Теоремы Сэндвича заключается в ее простоте при вычислении некоторых сложных пределов через более простые функции. Название происходит от того, что вместо прямого вычисления предела функции при x\to x_0, используется пара других функций, одна из которых ограничивает сверху, а другая снизу, и их предел при x_0 совпадает и легко вычисляется. Поскольку исходная функция всегда находится между этими двумя, она подобна «сыру между двумя кусочками хлеба».
Графическая идея Теоремы Сэндвича
Идея, заключенная в теореме, на самом деле достаточно проста. Предположим, что мы хотим вычислить сложный предел
\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)
Обычно мы используем все наши знания о функциях, чтобы попытаться упростить задачу до того момента, когда сможем ее решить. Однако в некоторых случаях другой подход оказывается более эффективным. Предположим, что у нас есть закрытый интервал I, где x_0 \in I, и существуют еще две функции m(x) и M(x), которые удовлетворяют следующему условию
(\forall x\in I)(m(x)\leq f(x) \leq M(x) )
И также
\displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = \lim_{x\to x_0} M(x) = L
Тогда выполняется
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
Это можно увидеть на следующем изображении.
Доказательство Теоремы Сэндвича
Для доказательства Теоремы Сэндвича, мы будем следовать следующему рассуждению:
| (1) | x_0\in I; Посылка |
| (2) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = L ; Посылка |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_1 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_1 \rightarrow |m(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (3) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} M(x) = L ; Посылка |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_2 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_2 \rightarrow |M(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (4) | (\forall x \in I)(m(x) \leq f(x) \leq M(x) ); Посылка |
| (5) | (\forall x \in I)(m(x) - L \leq f(x) - L \leq M(x) - L ); Из (4) |
| (6) | (|m(x) -L|\lt \epsilon) \rightarrow (-\epsilon \lt m(x) - L \lt \epsilon) |
| (7) | (|M(x) -L|\lt \epsilon ) \rightarrow (-\epsilon \lt M(x) - L \lt \epsilon) |
| (8) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( |M(x) -L| \lt \epsilon \wedge |m(x) -L| \lt \epsilon ) ); Из (2,3) |
| (9) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( - \epsilon \lt f(x) - L \lt \epsilon ) ); Из (1,5,6,7,8) |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow |f(x) - L| \lt \epsilon ) ) | |
| \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L\;\blacksquare |
Примеры
Используя Теорему Сэндвича, мы можем вычислять пределы функций, даже если у нас нет их явного алгебраического выражения. Примером этого является следующая ситуация:
Примером этого является следующая ситуация:
- Если \sqrt{5-2x^2}\leq f(x) \leq \sqrt{5-x^2}, при -1\leq x\leq 1. Каково значение \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)? [РЕШЕНИЕ]
Еще одно практическое применение Теоремы Сэндвича заключается в том, что предел сам по себе не очевиден по сравнению с другими более простыми пределами, которые ограничивают его сверху и снизу, как это происходит при вычислении следующего случая:
- Вычислить: \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} [РЕШЕНИЕ]