Теорема Байеса и сложная вероятность
Резюме
На этом занятии рассматривались два основных понятия теории вероятностей: условная вероятность и сложная вероятность. Было подчеркнуто различие между P(A|B) и P(B|A). Теорема сложной вероятности утверждает, что вероятность события A может быть выражена как сумма условных вероятностей P(A|B_i), умноженных на вероятности событий B_i. Затем была представлена теорема Байеса, которая позволяет вычислять условную вероятность P(B_k|A), используя условную вероятность P(A|B_k), вероятность P(B_k) и сумму условных вероятностей P(A|B_i), умноженных на вероятности событий B_i. Эти понятия являются фундаментальными для понимания и применения условной вероятности в различных контекстах, и теорема Байеса предоставляет мощный инструмент для обновления вероятностей на основе новой информации.
ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ:
По завершении этого занятия студент сможет:
- Понять концепцию условной вероятности и различие между P(A|B) и P(B|A).
- Рассчитать вероятность события, используя сложные вероятности.
- Демонстрировать правило Байеса.
СОДЕРЖАНИЕ
Сложная вероятность и условная вероятность
Теорема Байеса
На предыдущем занятии мы рассмотрели концепцию условной вероятности и также уточнили, что никогда не следует путать условную вероятность вида P(A|B) с P(B|A). Хотя в повседневной речи условность может быть запутанной, математически это две совершенно разные вещи, которые, однако, связаны. Эта связь описывается теоремой Байеса, которая основывается на понятии сложной вероятности.
Сложная вероятность и условная вероятность
ТЕОРЕМА: Если A — это событие и B_1, B_2, \cdots, B_n образуют множество непересекающихся событий, таких что \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega, то выполняется следующее:
\boxed{P(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)}
Этот способ записи вероятности A называется Сложная вероятность A.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
| (1) | A — это событие | ; Предпосылка |
| (2) | \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega | ; Предпосылка |
| (3) | B_1, \cdots, B_n все непересекающиеся | ; Предпосылка |
| (4) | (A\cap B_i)\cap(A\cap B_j) = \varnothing, где i\neq j и i,j\in \{1,2,3,\cdots n\} | ; Из (1,2,3) |
| (5) | \displaystyle \bigcup_{i=1}^n \left(A \cap B_i \right) = A | ; Из (1,2,3) |
| (6) | \displaystyle P(A) = P\left( \bigcup_{i=1}^n \left(A \cap B_i \right) \right) = \sum_{i=1}^n P\left( A \cap B_i \right) | ; Из (4,5) |
| (7) | P(A|B_i) = \dfrac{P(A\cap B_i)}{P(B_i)} | ; Определение условной вероятности |
| P(A\cap B_i) = P(A|B_i) P(B_i) | ||
| (8) | \boxed{\displaystyle P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)} | ; Из (6,7) |
Теорема Байеса
В том же контексте, что и предыдущая теорема, выполняется следующая теорема:
ТЕОРЕМА:
P(B_k|A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Если A — это любое событие и B_1, B_2, \cdots, B_n — это множество непересекающихся событий, таких что \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega, то, согласно предыдущей теореме о сложной вероятности, у нас есть:
P(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)
Теперь, используя факт, что P(X\cap Y) = P(X|Y)P(Y), если мы заменим Y=A и X=B_k, мы получим
P(A) = \dfrac{P(B_k \cap A)}{P(B_k|A)}
С другой стороны, у нас есть
P(A|B_k) = \dfrac{P(A\cap B_k)}{P(B_k)}
Отсюда следует, что
P(B_k \cap A) = P(A|B_k)P(B_k)
Теперь, если мы заменим зеленую часть на синюю часть, мы получим
P(A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(B_k|A)}
Что эквивалентно утверждению
\boxed{P(B_k|A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}= \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)} }
Это то, что мы хотели доказать.