Уравнения Максвелла в вакууме

Электромагнетизм в вакууме имеет некоторые особенности, которые стоит упомянуть. Оказывается, что уравнения Максвелла, описывающие электрические и магнитные поля, в вакууме принимают следующий вид:

\begin{array}{rlr} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 & [1]\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 & [2]\\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &\displaystyle = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & [3]\\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &\displaystyle = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} & [4] \end{array}

Из этого можно подтвердить, что любое возмущение в электрических и магнитных полях распространяется как волна в вакууме. Как мы это знаем? Потому что из анализа этих выражений получается волновое уравнение для обоих полей.

Распространение электромагнитных волн

Исходя из [4] и [5], электрическое поле удовлетворяет следующему соотношению:

\begin{array}{llr} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) &\\ &=\displaystyle -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}& [6] \end{array}

Затем, поскольку любое векторное поле удовлетворяет соотношению:

\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{A} \right) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nабла^2 \vec{A},\;\;\;[7]

Исходя из [2, 6] и [7], можно записать:

\begin{array}{rll} &\displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{E}}_{=0}) - \nабла^2 \vec{E} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{E} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} & \\ \equiv &\displaystyle \color{blue}{\nабла^2 \vec{E} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}} & [8] \end{array}

Это, выделенное синим цветом, является именно волновым уравнением для электрического поля.

Точно так же происходит и с магнитным полем

\begin{array}{ll} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)\\ &=\displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{E}\right) = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \displaystyle \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \end{array}

и затем

\begin{array}{rll} & \displaystyle \vec{\nabла}(\underbrace{\vec{\nabла} \cdot \vec{B}}_{=0}) - \набла^2 \vec{B} = \vec{\nабла} \times \left(\vec{\nабла} \times \vec{B} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} &\\ \equiv &\color{blue}{\набла^2 \vec{B} = \displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}}& [9] \end{array}

Именно из этого следует, что электромагнитные поля в вакууме имеют множество возможных мод, и одна из этих мод представляет собой электромагнитную волну, распространяющуюся в пространстве и времени.

Скорость света — универсальная константа

Другими словами, возмущения в электромагнитных полях всегда распространяются с скоростью c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\approx 3\cdot 10^8[m/s], которая является скоростью света в вакууме. Экспериментально наблюдается, что эта скорость одинакова для всех инерциальных систем отсчета, что не согласуется с тем, что было бы, если применить преобразования Галилея, как показано на Преобразования Галилея и их ограничения; потому что согласно им, даже сама структура волны изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Эти результаты являются ключевыми для отказа от преобразований Галилея, уступая место преобразованиям Лоренца специальной теории относительности, потому что: правильно сформулированное преобразование координат должно сохранять законы физики для всех инерциальных наблюдателей.