Предел функции одной действительной переменной
Резюме:
На этом занятии подробно рассматривается формальное определение предела функции одной действительной переменной, и на основе этого демонстрируются основные свойства, которые приводят к алгебре пределов.
Цели обучения:
К концу этого занятия студент сможет:
- Запомнить определение предела функции одной действительной переменной.
- Доказать свойства, которые приводят к алгебре пределов, используя выводы \epsilon-\delta.
- Вычислить пределы функций одной действительной переменной, используя алгебру пределов и их свойства.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Интуитивное представление о пределе функции с графической точки зрения
Формальное определение предела
Свойства пределов
Если предел существует, то он единственный
Алгебра пределов
Вычисление простых пределов
Введение
<Какова разница между изучением алгебры и геометрии по сравнению с изучением анализа? Ответ на этот вопрос дает концепция предела. В этой статье рассматривается, таким образом, предел и его определение.
Слово «предел» обычно ассоциируется у нас с чем-то вроде границы, как граница интервала с концами a, b (независимо от их природы)
[a,b[\;\; ;\;\; ]a,b]\;\; ; \;\; ]a,b[\;\; ; [a,b] ,
или как с настоящим, который можно назвать границей между прошлым и будущим. Примерно таким же образом понятие предела вводит математическое понимание этой интуитивной идеи асимптотического приближения к определенной точке.
Интуитивное представление о пределе функции с графической точки зрения
Чтобы начать визуализировать идею предела, целесообразно начать с графического представления функции и задаться вопросом, что произойдет с f(x), когда x будет приближаться к x_0 настолько близко, насколько это возможно.
Если x находится рядом с x_0, то существует открытый интервал радиуса \delta и с центром в x_0, в котором содержится x. Это можно представить тремя разными способами:
|x-x_0|\lt \delta,
|x\in]x_0 - \delta , x_0 + \delta[ ,
или x\in\mathcal{B}(x_0,\delta)
В нашем контексте это три способа сказать одно и то же; хотя последний, который читается как «x содержится в открытом шаре с центром в x_0 и радиусом \delta, был бы более подходящим для курса топологии, где эта тема «близости» будет рассматриваться более глубоко.
Если это условие выполняется, то мы увидим, что существует другой открытый интервал с центром в l и радиусом \epsilon, в котором содержится f(x), то есть: |f(x) - l|\lt \epsilon.
Отсюда возникает основная идея математического понятия предела, заключающаяся в том, что предел существует, если: при 0 \lt|x-x_0|\lt \delta выполняется |f(x)-l|\lt \epsilon; и это значение l будет пределом функции, когда x стремится к x_0 настолько близко, насколько мы захотим.
Формальное определение предела
От интуитивного и графического представления, которое было только что представлено, можно перейти к формальному определению предела. Мы говорим, что предел существует, когда, независимо от того, какое значение примет \epsilon (то есть расстояние между f(x) и l), всегда существует \delta такое, что если выполняется 0 \lt|x-x_0|\lt \delta, то выполняется и |f(x) - l|\lt \epsilon. Эта идея, которая изначально может быть трудной для понимания и причиной слез для большинства студентов по всему миру, изучающих математический анализ, может быть представлена следующей формулой:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=l := \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - l|\lt \epsilon\right),
Свойства пределов
Важность формального определения предела заключается в том, что теперь, исходя из этого, мы можем доказать его свойства, как те, которые кажутся интуитивно понятными, так и те, которые могут не быть такими очевидными.
Прежде чем продолжить, хотя это не строго необходимо, настоятельно рекомендуется изучить некоторые концепции математической логики, чтобы лучше понять доказательства, приведенные ниже.
Если предел существует, то он единственный
Чтобы доказать это свойство, мы воспользуемся методом доказательства от противного. Начнем с определения следующего множества предпосылок:
\displaystyle\mathcal{H}= \{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\}.
Исходя из этого, можно построить следующее формальное доказательство:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Предположение |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon\right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime ; Предположение |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash L \neq L^\prime ; Предположение |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); \wedge—Инт.(1,2) |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); Монотония(4) |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \epsilon = \frac{L - L^\prime}{2}\gt 0 ; Поскольку L \lt L^\prime |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \frac{L - L^\prime}{2} \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \frac{L - L^\prime}{2}\right) \right] \right. ); Используя(5,6) |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( 2 |f(x) - L |\lt L - L^\prime ) \wedge ( 2|f(x) - L^\prime |\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2 (f(x) - L )\lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2(f(x) - L^\prime )\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L \lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L^\prime \lt L - Л^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) \wedge ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) \wedge ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) ]) | |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \bot ; Из(1,2,6,7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\gt L^\prime\}\vdash \bot ; Аналогично (8) |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [(L\lt L^\prime) \vee (L\gt L^\prime)] \rightarrow \bot ; \vee-инт.(8,9) |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [L\ \neq L^\prime] \rightarrow \bot ; Определение(10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \bot ; MP(3,11) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\right\} \vdash \bot | |
| (13) | \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash \neg(L\neq L^\prime) ; Противоречие(12) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash L = L^\prime. |
Из этого доказательства мы получаем, что если существует два предела, то они равны, и, следовательно, предел единственен.
Алгебра Пределов
С тем, что мы изучили до сих пор, мы рассмотрели основную математическую идею предела. Но только этого недостаточно, чтобы выполнять расчеты с пределами — даже близко. Только сумасшедший, жаждущий страданий, будет использовать определение предела для этого. Чтобы решить эту проблему, теперь мы рассмотрим техники, которые помогут нам начать вычислять некоторые пределы.
Пусть x_0, \alpha, \beta, L, M \in \mathbb{R}, и пусть f и g — это действительные функции, такие что:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) = M
Тогда выполняются следующие свойства:
Предел суммы и разности функций
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha L \pm \beta M
Доказательство:
Рассмотрим набор предпосылок \displaystyle\mathcal{H}=\left\{\lim_{x\to x_0} f(x) = L, \lim_{x\to x_0} g(x) = M \right\}, тогда исходя из этого мы можем сделать следующий вывод:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Предположение |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha||f(x) - L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon}:= |\alpha|\epsilon ; Определение |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt \overline{\epsilon} \right) ; Из(1,2) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\alpha f(x) = \alpha L | |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}g(x) = M ; Предположение |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\beta g(x) = \beta M ; Аналогично (3) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right) | |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow \left[|\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right] \right) ; Из(3,5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \leq |\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M| ; Неравенство Треугольника: (\forall x,y\in\mathbb{R})(|x+y|\leq |x|+|y|) |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right) ; Из(6,7) |
| (9) | \epsilon^* := \overline{\epsilon} + \overline{\overline{\epsilon}}; Определение |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon^* \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha L - \beta M| \lt \epsilon^* \right) ; Из(8,9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \beta g(x)) = \alpha L + \beta M | |
| (11) | \gamma:= - \beta; Определение |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \gamma g(x)) = \alpha L + \gamma M ; Аналогия(10) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) - \beta g(x)) = \alpha L - \beta M ; Из(11,12) |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) \pm \beta g(x)) = \alpha L \pm \beta M ; Из(10,13) |
Предел произведения функций
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left( f(x) g(x) \right) = L M
Это доказательство немного сложнее предыдущего, но это не проблема, которую мы не сможем решить с помощью нескольких драконовских трюков. Используя тот же набор предпосылок \mathcal{H}, что и в предыдущем доказательстве, мы можем построить следующую цепочку рассуждений:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon} := \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2} ; Определение |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} f(x) = L ; Предположение |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} = \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right) ; Используя (1) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\overline{\epsilon}} := \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2}; Определение |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} g(x) = M ; Предположение |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} = \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)}\right) ; Используя (3) | |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)| - |L| \lt |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} \lt 1 ; Неравенство Треугольника + Частный случай \overline{\epsilon} |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)|\lt 1 + |L| ; Из(5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| - |M| \lt |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} \lt 1 ; Неравенство Треугольника + Частный случай \overline{\overline{\epsilon}} |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| \lt 1 + |M| ; Из(7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)g(x) - Mf(x) + Mf(x) - LM |; Добавить ноль |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)(g(x) - M) + M (f(x) - L) |; Факторизация | |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq | f(x)(g(x) - M)| + | M (f(x) - L) |; Неравенство Треугольника(9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq |f(x)||g(x) - M| + |M| |f(x) - L| | |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\lt (1 + |L|)|g(x) - M|+ |M|\overline{\epsilon}; Из(5,6,10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\overline{\overline{\epsilon}} + |M|\overline{\epsilon}\right]; Из(11) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} + |M|\frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right]; Из(1,3,12) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt \frac{|\epsilon|}{2} + \frac{|\epsilon||M|}{2(|M|+1)} \lt \frac{|\epsilon|}{2}+ \frac{|\epsilon|}{2} = |\epsilon| \right] | |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \right]; Из(11,13) |
| (15) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash (\forall \epsilon \gt 0 ) (\exists \delta \gt 0 ) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \leq \epsilon \right) ; Из(1,2,4,14) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) = LM. |
Предел постоянной функции
Предел постоянной функции f(x)=c, это константа c. То есть
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c
Доказательство
Доказательство этого на самом деле простое, потому что это тавтология. Уже известно, что:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |c-c|\lt \epsilon)
Но дело в том, что 0=|c-c|\lt \epsilon — это тавтология для любого положительного эпсилон, так что импликация также является тавтологией, и, следовательно, выражение \displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c также является тавтологией.
Предел частного функций
Теперь мы можем доказать правило для предела частного двух функций. Это
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L}{M}
Где, как и в предыдущих свойствах, мы предполагаем, что выполняется набор предпосылок
\displaystyle \mathcal{H}=\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}g(x) = M\}
Доказательство
К счастью, нам больше не придется проводить такие доказательства, как раньше, потому что теперь мы можем напрямую использовать эти результаты для достижения наших целей. Но перед этим сначала докажем, что
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Чтобы доказать это, достаточно использовать правило предела произведения и предела постоянной функции в сочетании, нам просто нужно убедиться, что g(x) не равно нулю:
\displaystyle 1 = \lim_{x\to x_0}\left( 1 \right) \lim_{x\to x_0}\left( g(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = \lim_{x\to x_0}g(x) \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = M \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)}
Следовательно: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Наконец, по правилу предела произведения имеем:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} f(x) \frac{1}{g(x)}= L \cdot\frac{1}{M} = \frac{L}{M}
Это справедливо, пока M не равно нулю.
Предел натуральной степени
Это свойство говорит нам, что, если \displaystyle \lim_{x_0 \to x_0}f(x) = L, то выполняется \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right). Это можно доказать с помощью математической индукции.
Доказательство:
- Случай n=1: (начальный шаг)
\displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^1 = \lim_{x\to x_0} f(x) = L. Это завершает начальный шаг ✅
- Случай n=k: (индуктивный шаг)
Предполагая, что выполняется: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^k = L^k (Индуктивная Гипотеза), проверим, что следовательно выполняется \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L^{k+1} .
Имеем: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = \lim_{x\to x_0} \{f(x) [f(x)]^k\} = \lim_{x\to x_0}f(x) \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k}. Это следует из доказанного выше правила предела произведения.
Далее, по индуктивной гипотезе получаем \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L\cdot L^k = L^{k+1}. Это завершает индуктивный шаг ✅
- Следовательно: \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right).
Предел корня n-ой степени
Аналогично степени, справедливо, что \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{Н}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \right)
Доказательство:
Используя только что доказанное правило для степени, имеем
\displaystyle L= \lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} \left[\sqrt[n]{f(x)}\right]^n = \left[ \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)}\right]^n
Следовательно: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} =\sqrt[n]{L}.
Предел дробных степеней
С объединением последних двух доказательств мы можем заключить наше последнее доказательство, это: \displaystyle \left(\forall p,q\neq 0 \in \mathbb{Z}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left[f(x)\right]^{\frac{p}{q}} = L^{\frac{p}{q}} \right). , которое получается благодаря правилу произведения, поскольку \displaystyle [f(x)]^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{f(x)}]^p и \displaystyle L^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{L}]^p.
Предел \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0
Этим доказательством завершаем этот цикл доказательств, с этим и предыдущими мы сможем в дальнейшем вычислять большое количество пределов практически интуитивно.
Просто доказать, что \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0, потому что для этого необходимо, чтобы
(\forall \epsilon \gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt |x-x_0|\lt \delta\rightarrow |x-x_0|\lt \epsilon)
Согласно определению предела, для любого эпсилон должно существовать хотя бы одно дельта, для которого выполняется все остальное; так что достаточно найти одно, чтобы подтвердить, что предел действительно равен заявленному. Но это на самом деле очевидно, потому что любое \delta\leq\epsilon удовлетворяет этому условию. Следовательно: \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0.
Вычисление простых пределов
Благодаря всем этим теоремам, которые мы только что рассмотрели, можно вычислять множество пределов довольно интуитивно, как если бы мы просто подставляли значения в функцию. Вот несколько примеров:
- {}\\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2 + 4x) & = \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2) + \lim_{x\to 2}(4x) \\ \\ & = \displaystyle \left(\lim_{x\to 2} x \right)^2 + 4\lim_{x\to 2} x \\ \\ & = (2)^2 + 8 = 12 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1}\left.\frac{(3x-1)^2}{(x+1)^3} \right. & = \displaystyle \frac{(3(1)-1)^2}{((1)+1)^3} \\ \\ & = \displaystyle \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{x^2 - 4} &= \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{x+2} = \dfrac{1}{4} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} &= \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 -x^3}{h} \\ \\ & = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{3x^3 h + 3xh^2}{h} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{h\to 0} 3x^2 + 3xh = 3x^2 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } &=\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x^2 + 3) - 4 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{x^2 -1 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x-1)(x+1) } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{ x+1 } \\ \\ & =\displaystyle \frac{2+2}{2} =2 \end{array}