Познакомьтесь с пространством элементарных событий в теории вероятностей
Резюме
В этом уроке рассматривается понятие Пространства Вероятностей, математической структуры, состоящей из Пространства Элементарных Событий, Сигма-Алгебры и Меры Вероятности. Подробно рассматривается Пространство Элементарных Событий как совокупность всех возможных состояний случайного процесса. Через практические примеры иллюстрируется построение дискретных и непрерывных пространств элементарных событий, а также объясняется, как на их основе строятся измеримые события и рассчитываются меры вероятности. Этот урок является фундаментальным для понимания основ теории вероятностей и заложения основ для ее применения в различных областях.
ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ:
По окончании этого урока студент сможет:
- Понять понятие Пространства Вероятностей.
- Определить элементы, составляющие Пространство Вероятностей.
- Различать между дискретными и непрерывными пространствами элементарных событий.
- Построить дискретные и непрерывные пространства элементарных событий.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРОСТРАНСТВО ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ПРИМЕРЫ ПРОСТРАНСТВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ
ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ
СКАЧАТЬ КОНСПЕКТ В ФОРМАТЕ LATEX ЗДЕСЬ
Пространство вероятностей
Пространство вероятностей
Теория вероятностей основывается на объекте, называемом Пространство Вероятностей. Это математическая структура, которая состоит из: (i) Пространства элементарных событий \Omega, (ii) Сигма-алгебры \Sigma и (iii) Меры вероятности P. Чтобы построить пространство вероятностей, сначала рассмотрим концепцию пространства элементарных событий.
Совокупность всех возможных состояний \omega случайного процесса формирует непустое множество \Omega, которое мы называем Пространством элементарных событий.
Примеры пространств элементарных событий
| ПРИМЕР 1 |
| Если подбросить монету, то возможны два исхода: Орел (О) и Решка (Р). Таким образом, пространство элементарных событий будет \Omega_{1m}=\{О,Р\} |
| ПРИМЕР 2 |
| Если повторить предыдущий эксперимент, но теперь с двумя подбрасываниями, то получим: \Omega_{2m}=\{(О,О);(О,Р);(Р,О);(Р,Р)\} То есть, все возможные способы расположения орла и решки в парах. |
| ПРИМЕР 3 |
| Бросок шестигранного кубика имеет следующее пространство элементарных событий: \Omega_{1d6}=\{1,2,3,4,5,6\} То есть, номер, указанный на каждой его грани. |
| ПРИМЕР 4 |
| Время жизни электрического прибора (измеряемое в часах) имеет пространство элементарных событий в виде \Omega_{ae}=\{t\in \mathbb{R} \;|\; t\geq 0\} То есть, время жизни прибора — это число t, содержащееся в интервале [0,+\infty[ |
Дискретные и непрерывные пространства элементарных событий
Исходя из этих примеров, мы можем провести различие между двумя типами пространств элементарных событий, это дискретные и непрерывные. Дискретные пространства элементарных событий, как в первых трех примерах, состоят из конечных множеств, хотя также могут быть бесконечными и счетными (как любое подмножество \mathbb{N}). В отличие от этого, непрерывные пространства элементарных событий являются бесконечными и несчетными; обычно они представлены через под-интервалы \mathbb{R}.
На основе элементов пространства элементарных событий (возможных состояний) строятся измеримые события (объекты сигма-алгебры) пространства вероятностей, и на этих объектах рассчитываются меры вероятности.
»