Хотя операции с натуральными числами хорошо известны, необходимо систематизировать эти знания, используя «немного более математические манеры». По этой причине мы проведем обзор операций сложения, умножения и возведения в степень натуральных чисел и их свойств.

Происхождение Основных Операций с Натуральными Числами

Операция Сложения

Начало операции сложения мы рассмотрели в классе на Натуральные Числа и Аксиомы Пеано, потому что преемник натурального числа также может быть представлен следующим образом:

S(n) = n+1

Как мы сказали, 2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \cdots и так далее, поэтому мы можем интерпретировать сложение как последовательное применение операции преемника.

n+1 =S(n),

n+2 =S(S(n)),

n+3 =S(S(S(n))),

\vdots

И в общем:

n+m = \underbrace{S(S(\cdots S(}_{m\;раз} n)\cdots))

Свойства Сложения

Если a,b,c\in\mathbb{N}, то из этого мы можем вывести известные всем свойства сложения:

Все эти свойства можно доказать с помощью индукции, но мы пропустим эту часть. Однако я призываю вас попробовать это как способ практиковать технику индукции.

Операция Умножения

Аналогично, произведение натуральных чисел определяется как последовательное применение сложения. Таким образом, у нас есть

n\cdot m = \underbrace{n+ n+ \cdots + n}_{m\;раз}

Свойства Произведения

И аналогично, можно вывести его свойства

И кроме того, исходя из определения произведения, «1» в натуральных числах приобретает качество, превращающее его в единицу:

Сумма и Произведение в Комбинации

Когда операции сложения и умножения сочетаются, получается свойство дистрибутивности сложения относительно умножения

Порядок, Индуцированный Операциями с Натуральными Числами

Исходя из операций сложения и умножения, которые мы рассмотрели, в натуральных числах индуцируется отношение порядка по следующим определениям:

Свойства Порядка в Натуральных Числах

Закон Трихотомии

Исходя из этого, может произойти только одна из следующих трех ситуаций:

1. a\lt b
2. a = b
3. a\gt b

Если, например, a не меньше, чем b, то должна произойти одна из двух ситуаций: либо a=b, либо a\gt b, то есть больше или равно, и записывается как: a\geq b. Аналогично, пишется a\leq b., когда меньше или равно.

Транзитивное Свойство

Если a,b и c являются произвольными натуральными числами, то выполняется следующее:

[(a\lt b) \wedge (b\lt c)] \rightarrow (a\lt c)

И аналогично:

[(a\gt b) \wedge (b\gt c)] \rightarrow (a\gt c)

Свойство Монотонности

Существует свойство монотонности как для сложения, так и для умножения, оно таково:

Обратные Операции: Вычитание и Деление Натуральных Чисел

Вычитание Натуральных Чисел

Если a,b,c\in\mathbb{N}, говорим, что разность между a и b (в этом порядке), записанная как a-b, определяется через соотношение

a-b=c \leftrightarrow a= b+c

Как мы видим, такое соотношение будет верным только если a\gt b, потому что не существует такого c\in \mathbb{N}, с которым можно было бы удовлетворить это соотношение, если a\leq b.

С помощью определения вычитания мы имеем известное правило: «то, что добавляется к одной стороне равенства, может перейти на другую сторону, вычитаясь, и наоборот».

Деление Натуральных Чисел

Если a,b,c\in\mathbb{N}, говорим, что деление между a и b (в этом порядке), записанное как a/b, определяется через соотношение

a/b=c \leftrightarrow a= bc

Из определения деления у нас есть правило: «то, что умножается на одной стороне равенства, может перейти на другую сторону, делясь, и наоборот».

Так же, как для существования вычитания a - b должно выполняться условие a\gt b, для существования деления a/b необходимо, чтобы a было «делится» на b. Это представляется записью

a делится на b \; :=a|b \; := \; (\exists k \in \mathbb{N})(a = kb)

Возведение Натуральных Чисел в Степень

С натуральными числами можно определить степени. Возвести натуральное число b,, которое мы называем основанием, в степень другого натурального числа n,, которое мы называем показателем степени, означает умножить b на себя n раз. Таким образом

b^n = \underbrace{bb\cdots b}_{n\;раз}

Если a,b,n,m\in\mathbb{N}, посредством (двойной) индукции можно доказать следующие свойства:

1. \displaystyle b^nb^m=b^{n+m}
2. \displaystyle \frac{b^n}{b^m} = b^{n-m}, при условии что n\lt m
3. \displaystyle (ab)^n=a^nb^n
4. \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
5. \displaystyle (b^n)^m=b^{nm}

Предложенные и Решенные Задачи

1. Все свойства, показанные здесь, могут быть доказаны с использованием математической индукции (простой или двойной), но я не разрабатывал их, потому что доказательство получается ненужно длинным для этих интуитивно понятных результатов. Тем не менее, те, кто следует этим занятиям, могут попробовать выполнить эти доказательства в качестве упражнения. [Только предложено]
2. То же самое ли b^{n^m} (которое определяется как b^{(n^m)}), что и (b^n)^m? [Решение]
3. Используя просмотренные свойства, проверьте равенства:
   a) (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd [Решение]
   
   b) (a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd,; если c\gt d [Решение]
   
   c)(a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd,; если a\gt b, c\gt d [Решение] 
4. Докажите, что
   
   a) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [Решение]
   
   b) (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2; если c\gt d [Решение]
   
   c) (a+b)(a-b) = a^2-b^2; если c\gt d [Решение]
   
   d) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 [Решение]
   
   e) (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3; если c\gt d [Решение]

    

5. Докажите полной индукцией следующие свойства:
   
   a) 1+2+3+4+\cdots+n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} [Решение]
   
   b) 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [Решение]
   
   c) 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3 = \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} [Решение]