Введение

Односторонние пределы возникают, когда мы сталкиваемся с пределами, которые могут существовать только слева или справа, но не с обеих сторон. Те пределы, которые мы изучали до сих пор, именно такого типа: чтобы предел функции f при x\to x_0 существовал, необходимо, чтобы f была хорошо определена по обе стороны от x_0; если это не так, то определение предела не будет работать. Поскольку такие случаи довольно часты, необходимо найти способ их обработки. Это решается с помощью формального определения.

Интуитивное понимание односторонних и двусторонних пределов

Для существования предела функции f, при x\to x_0, необходимо, чтобы функция была хорошо определена по обе стороны от x_0. Если это условие выполняется, то мы говорим о двустороннем пределе. И если такой предел имеет значение L, то не будет проблем записать это как:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L

Теперь представим, что мы переопределим эту функцию так, чтобы её область определения включала только значения больше x_0. Если мы это сделаем, то заметим, что предел больше не существует (так как будут значения x, для которых функция не определена); однако, графически мы всё же можем сказать, что при x\to x_0, f(x) всё ещё стремится к L. Интуитивное понимание, которое мы здесь вырабатываем, — это предел справа, который можно представить как:

\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L

Аналогично, будет существовать предел слева:

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = L

Наконец, двусторонний предел существует, когда оба односторонних предела существуют и равны:

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x)

Формальное определение односторонних пределов

Чтобы формально определить односторонние пределы, достаточно внести небольшое изменение в исходное определение предела.

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L := \left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. 0\lt|x-x_0|\lt\delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Для правосторонних пределов определение будет следующим:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Для левосторонних пределов оно будет следующим:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Условия для предельной алгебры

Интересно, что эти определения содержатся в обычном определении предела, и это важно, потому что оно освобождает нас от необходимости доказывать все свойства, которые мы уже доказали для двусторонних пределов. Вся предельная алгебра будет работать так же, как мы видели на предыдущих уроках, при условии, что пределы одинаковой природы (оба слева или оба справа, никогда не смешанные), направлены на одну и ту же точку и существуют в этой точке.

Предлагаемые и решённые задачи

1. \displaystyle \lim_{x\to {\frac{1}{2}}^- } \sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} [РЕШЕНИЕ]
2. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} [РЕШЕНИЕ]
3. \displaystyle \lim_{x\to 2^+} \left(\dfrac{x}{x+1} \right) \left(\dfrac{2x+5}{x^2+x} \right) [РЕШЕНИЕ]
4. \displaystyle \lim_{x\to 1^-} \left(\dfrac{1}{x+1} \right) \left(\dfrac{x+6}{x} \right) \left(\dfrac{3-x}{x} \right) [РЕШЕНИЕ]
5. \displaystyle \lim_{h\to 0^+ } \dfrac{\sqrt{h^2 + 4h +5} - \sqrt{5}}{h} [РЕШЕНИЕ]
6. \displaystyle \lim_{h\to 0^-} \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5h^2 + 11h + 6}}{h} [РЕШЕНИЕ]

7. a. \displaystyle \lim_{x\to -2^+} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   b. \displaystyle \lim_{x\to -2^-} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   [РЕШЕНИЕ]

8. a. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   b. \displaystyle \lim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   [РЕШЕНИЕ]