Случайные Переменные и Распределения Вероятностей
Резюме
Этот урок предоставляет глубокое погружение в понятия случайных переменных и распределений вероятностей, которые являются фундаментальными основами теории вероятностей и статистического анализа. Вводится определение случайной переменной как числа, зависящего от результата случайного эксперимента. Рассматривается функция распределения случайной переменной, подчеркивается ее важность, а также ее основные свойства. Наконец, анализируется связь между случайными переменными и распределениями вероятностей, объясняя, что две переменные могут иметь одинаковое распределение, не будучи одной и той же случайной переменной.
ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ:
По окончании этого урока студент будет способен:
- Понять концепцию случайных переменных: Студенты должны уметь описывать и объяснять, что такое случайные переменные и как они математически определяются.
- Понять концепцию распределений вероятностей: Студенты должны уметь объяснять, что такое распределения вероятностей и как они представляются.
- Описывать свойства распределений вероятностей: Студенты должны уметь распознавать и объяснять ключевые свойства распределений вероятностей.
- Анализировать связь между случайными переменными и распределениями вероятностей: Студенты должны уметь обсуждать, как случайные переменные и распределения вероятностей взаимосвязаны, и как две переменные могут иметь одинаковое распределение, не будучи одной и той же случайной переменной.
- Демонстрировать и применять свойства распределений вероятностей в практических ситуациях: Студенты должны уметь математически демонстрировать свойства распределений вероятностей и применять эти свойства в реальных ситуациях.
- Понять концепцию функций распределения: Студенты должны уметь описывать, что такое функция распределения и как она используется для описания случайной переменной.
СОДЕРЖАНИЕ:
Что такое случайные переменные?
Что такое распределения вероятностей?
Свойства распределений вероятностей
Связь между случайными переменными и распределениями вероятностей
Одним из ключевых понятий теории вероятностей и статистического анализа являются случайные переменные и распределения вероятностей. Хотя теория, которую мы разработали до сих пор, в некотором смысле «полна», на самом деле в своем нынешнем состоянии она довольно примитивна; случайные переменные и распределения вероятностей — это, так сказать, концепции, которые позволяют нам «смазать наши возможности работы с вероятностями и выполнения статистического анализа».
Что такое случайные переменные?
Чтобы познакомиться с понятием случайной переменной, полезно начать с интуитивного подхода: можно интерпретировать случайную переменную как «число, зависящее от результата случайного эксперимента». Однако для более точного понимания важно также исследовать ее формальное определение. Рассмотрим это определение:
Определение: Случайная переменная на множестве \mathcal{X} — это функция f:\Omega \longmapsto \mathcal{X} |
Наиболее распространенный случай — когда \mathcal{X}= \mathbb{R}, и, если не указано иное, это будет наше предположение; то есть мы будем работать со случайными переменными, принимающими действительные значения. Обычно случайные переменные обозначаются заглавными буквами, такими как X,Y,Z, \cdots,, в то время как константы обозначаются строчными буквами. Для упрощения случайные переменные будем называть просто «переменными».
Пример: Предположим, что кубик бросается дважды. Тогда у нас будет: \Omega_{2d6} = \{(\omega_1, \omega_2)\;|\; \omega_1,\omega_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}\} Из этого можно определить следующие случайные переменные:
|
Что такое распределения вероятностей?
Определение: Функция распределения (или «ФР») случайной переменной X — это функция F_X: \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R}, определенная соотношением F_X(x) = P(\{\omega \;|\; X(\omega)\leq x\}), или, короче говоря: P(X\leq x). |
Обычно интерес к случайной переменной заключается не столько в ее явном выражении в выборочном пространстве \Omega, сколько в ее функции распределения. Индекс X в F_X может быть опущен, если контекст ясен и нет двусмысленности. Часто используется обозначение X\sim F для указания, что случайная переменная X имеет функцию распределения F.
Свойства распределений вероятностей
Если F является распределением вероятностей и a,b являются любыми действительными числами, тогда выполняются следующие свойства:
(a) a\lt b \longrightarrow [P(a\lt X \leq b) = F(b) - F(a)]
(b) a\lt b \longrightarrow F(a) \leq F(b), то есть «F возрастает».
(c) \displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 и \displaystyle\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0
(d) \displaystyle P(X=x)=\lim_{t\to x^+}F(t) - \lim_{t\to x^-}F(t)
(e) \displaystyle F(x)=\lim_{t\to x^+}F(t)
| Доказательство (a) Пусть A и B — это события \{X\leq a\} и \{X\leq b\} соответственно, при a\lt b. Если все это выполняется, то будет A\subseteq B, и следовательно, будет: \color{blue}{P(a\lt X\leq b)} = P(B\setminus A) = P(B) - P(B\cap A) = P(B)-P(A) =\color{blue}{F(b) - F(a)} (b) Из части (a) следует: так как P(B\setminus A)\geq 0, то будет: F(b) - F(a) \geq 0 что эквивалентно: F(a) \leq F(b) (c) Здесь мы используем тот факт, что F монотонно возрастает (доказано в (b)) и ограничено максимальным значением, равным «1» (поскольку распределение определяется в терминах вероятности). Этого достаточно, чтобы сказать: \displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 Альтернативный подход позволяет выполнить следующие вычисления с таким же результатом. Определим множество A_n=\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}. Из этого легко проверить, что для любого n будет A_{n}\subseteq A_{n+1}, \displaystyle\bigcup_{n\lt +\infty} A_n = \Omega и, следовательно, используя свойство непрерывности, будет: \displaystyle 1=P(\Omega) = P\left( \bigcup_{n\lt +\infty} A_n \right) = \lim_{n\to +\infty} P(A_n) = \lim_{n\to +\infty} P(\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}) = \lim_{n\to +\infty} P(X\leq n)=\lim_{n\to +\infty}F(n) То есть: \displaystyle \color{blue}{\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1} С другой стороны, для предела при x\to -\infty будет следующее: Сначала определим множество B_n=\{\omega\;|\;-n\lt X(\omega)\}. Из этого следует: \displaystyle \lim_{n \to -\infty}F(n) = \lim_{n\to -\infty} P(X\leq n) = \lim_{n\to \infty} P(X\leq -n)= 1 - \lim_{n\to \infty} P(-n \lt X) = 1 - \lim_{n\to \infty}P(B_n)) = 1 - P(\Omega) = 1-1=0 (d) Аналогично части (c). Начнем с определения множества: \displaystyle C_n = \left\{x - \frac{1}{n} \leq X \leq x + \frac{1}{n}\right\} И из этого следует: C_{n+1}\subseteq C_n \displaystyle \bigcap_{n\gt 0} C_n = \{X=x\} Следовательно, используя результат из свойства непрерывности будет: \displaystyle P(X=x)=P\left(\bigcap_{n\gt 0} C_n \right) = \lim_{n\to \infty} P(C_n) = \lim_{x+1/n \to x^+}F\left(x+1/n\right) - \lim_{x-1/n \to x^-}F\left(x-1/n\right)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) (e) Этот случай вытекает из предыдущего результата. Фактически, поскольку мы уже доказали: \displaystyle P(X=x)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) Мы можем написать: \displaystyle \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t\to x^-}P(X\leq t)= P(X\leq x) = F(x) |
Связь между случайными переменными и распределениями вероятностей
Говорят, что две переменные X и Y имеют одинаковое распределение вероятностей, если (\forall A\subseteq \mathbb{R})(P(X\in A) = P(Y\in A)).
Две переменные X и Y, определенные на одном и том же выборочном пространстве \Omega, могут иметь одинаковое распределение, но это не значит, что они являются одной и той же случайной переменной. Например, если рассмотреть эксперимент по подбрасыванию сбалансированной монеты и X=1 соответствует орлу, а X=0 соответствует решке, можно определить случайную переменную Y=1-X и тогда будет P(X=1) = P(Y=1)=0.5, и обе переменные будут иметь одинаковое распределение, но если вычислить вероятность того, что обе переменные имеют одинаковое значение, то будет P(X=Y)=0