Первый закон термодинамики

Первый закон термодинамики — это основа, связывающая фундаментальные понятия, такие как тепло, работа и внутренняя энергия. Он устанавливает, что энергия не создается и не уничтожается, а лишь преобразуется. Этот материал исследует, как этот закон применяется к замкнутым системам, углубляясь в анализ термодинамической работы, теплоемкостей и статистических свойств газов. С помощью комбинации математических формулировок и физических рассуждений вы откроете важные инструменты для понимания энергетических процессов в сложных системах.

Учебные цели:
По окончании этого занятия студенты смогут:

1. Обосновывать первый закон термодинамики для замкнутых систем, объясняя связи между теплом, работой и внутренней энергией.
2. Анализировать понятие термодинамической работы при процессах сжатия и расширения, используя дифференциальные формулы.
3. Вычислять теплоемкость при постоянных объеме и давлении, применяя термодинамические ограничения.
4. Объяснять распределение Максвелла-Больцмана и принцип равномерного распределения энергии в молекулярных системах.
5. Демонстрировать специфические связи между теплоемкостями, адиабатическим показателем и другими термодинамическими свойствами идеальных газов.

СОДЕРЖАНИЕ:
Формулировка первого закона термодинамики
Термодинамическая работа
Теплоемкость
Распределение Максвелла-Больцмана и равномерное распределение энергии
Упражнения

Формулировка первого закона термодинамики

Первый закон термодинамики
утверждает:

Внутренняя энергия U — это функция состояния, так как она имеет четко определенное значение для каждого состояния равновесия системы. Изменение внутренней энергии системы можно добиться путем передачи тепла Q или выполнения работы W. Однако тепло и работа не являются функциями состояния, так как зависят от процесса, в ходе которого энергия добавляется или извлекается, и по завершении процесса невозможно определить, какое количество тепла или работы было выполнено для достижения состояния равновесия.

Изменение внутренней энергии системы можно выразить следующим образом:

\Delta U = \Delta Q + \Delta W,

где \Delta Q — количество переданного тепла, а \Delta W — количество выполненной работы над системой. По конвенции \Delta Q положительно, если тепло передается в систему; если \Delta Q отрицательно, то тепло извлекается из системы. \Delta W положительно для работы, выполняемой над системой; если \Delta W отрицательно, то система выполняет работу над окружающей средой.

Связь между работой, теплом и внутренней энергией также можно выразить дифференциально:

dU = \delta Q + \delta W.

Здесь буква \delta используется для обозначения неточных дифференциалов.

Тепловая изолированная система — это система, которая не может обмениваться теплом с окружающей средой. В этом случае выполняется следующее соотношение: dU = \delta W. Это и есть первый закон термодинамики, ограниченный адиабатической системой.

Теплоемкость

Предположим теперь
, что мы хотим подробнее понять, как изменяется внутренняя энергия системы при добавлении тепла. В общем случае внутренняя энергия является функцией температуры и объема, поэтому можно записать U=U(T,V). Далее, поскольку энергия — это точный дифференциал, изменение U относительно T и V можно выразить через:

\displaystyle dU = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV.

Теперь, используя соотношения dU=\delta Q + \delta W и \delta W=-PdV, можно переформулировать первый закон термодинамики через следующие рассуждения:

\begin{array}{rl} \delta Q &= dU + PdV\\ \\ & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV + PdV\\ \\ & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]dV \\ \\ \displaystyle \frac{\delta Q}{dT} & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]\frac{dV}{dT}. \end{array}

Это соотношение справедливо для любого изменения температуры и объема.

На основе полученного можно определить количество тепла, которое необходимо добавить для изменения температуры при определенных ограничениях.

Ограничение на постоянный объем

Чтобы увидеть, что происходит при постоянном объеме, вспомним определение теплоемкости при постоянном объеме: C_V=(\partial Q/ \partial T)_V. Тогда, если мы ограничимся анализом при постоянном объеме, исключаем член dV/dT в выражении для \delta Q/dT. Это позволяет записать:

\displaystyle C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T} \right)_V

Ограничение на постоянное давление

Если поддерживать постоянное давление, то:

\displaystyle C_p =\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_P=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p.

Теплоемкость одноатомного газа

Рассмотрим одноатомный газ
. Внутренняя энергия за счет кинетической энергии частиц описывается формулой \displaystyle U=\frac{3}{2}Nk_BT. Этот результат объясняется принципом равномерного распределения энергии, который можно изучить с помощью статистического подхода к движению частиц.

Распределение Максвелла-Больцмана и равномерное распределение энергии

Поскольку энергия системы
пропорциональна фактору Больцмана e^{-E/(k_BT)}. Рассуждая на основе этого и учитывая, что кинетическая энергия частиц имеет вид \displaystyle E_{cin}=\frac{1}{2}mv^2, можно сделать вывод, что энергия, связанная с движением частиц системы по одной из трех координатных осей (рассмотрим ось \hat{x}), распределена по закону, пропорциональному e^{-mv_x^2/(2k_BT)}. То есть:

g(v_x)= A e^{-mv_x^2/(2k_BT)},

где A — некоторая константа, которую необходимо определить. Поскольку g(v_x) является функцией распределения, она должна быть нормирована таким образом, чтобы:

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} g(v_x)dv_x= 1

Полезным результатом для анализа этой ситуации является формула для гауссового интеграла:

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx= \sqrt{\pi}

Исходя из этого, можно сделать вывод:

\displaystyle 1= \int_{-\infty}^{+\infty} Ae^{\frac{-mv_x^2}{2k_BT}}dv_x= A\sqrt{\frac{\pi}{m/(2k_BT)}} = A\sqrt{\frac{2\pi k_BT}{m}}

Следовательно:

\displaystyle g(v_x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}e^{-mv_x^2/(2k_BT)}

Используя это, можно вычислить среднюю скорость, проецируемую на ось \hat{x}, \left\langle v_x^2\right\rangle. Результат:

\displaystyle \left\langle v_x^2\right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} v_x^2 g(v_x) dv_x = \sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}} \int_{-\infty}^{+\infty} v_x^2 e^{-mv_x^2/(2k_BT)} = \frac{k_BT}{m}

Так как среднеквадратичная скорость может быть разложена как \displaystyle \left\langle v^2\right\rangle = \left\langle v_x^2\right\rangle + \left\langle v_y^2\right\rangle + \left\langle v_z^2\right\rangle, а каждая из этих компонент имеет одинаковое развитие и результат, средняя кинетическая энергия системы частиц может быть записана следующим образом:

\displaystyle \left\langle E_{cin}\right\rangle =\frac{1}{2}m\left\langle v^2\right\rangle = \frac{1}{2}m \cdot 3\frac{k_BT}{m}= \frac{3}{2}k_BT.

Это называется «принципом равномерного распределения энергии». Исходя из этого, можно утверждать, что если система состоит из N частиц с кинетической энергией \displaystyle \left\langle E_{cin}\right\rangle, и внутренняя энергия системы полностью обусловлена кинетической энергией, то внутренняя энергия системы будет равна \displaystyle U=3Nk_BT/2, а также можно утверждать, что внутренняя энергия зависит только от температуры системы:

\displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = 0

Развитие для идеального газа

Вспомним уравнение идеального газа
PV=Nk_BT =nRT. Если выразить объем, то:

\displaystyle V= \frac{nRT}{P}

Таким образом, можно записать:

\displaystyle \left(\frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = \frac{nR}{P}

Если теперь вернуться к выражениям для C_V и C_P, то станет очевидно, что:

\begin{array}{rl} C_P - C_V & \displaystyle = \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V} \right)_T + P \right]\left(\frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = P\cdot \frac{nR}{P} = nR \end{array}

Далее, зная что \displaystyle C_V=(\partial U / \partial T)_V и U=3Nk_BT/2=3nRT/2, получаем:

\displaystyle C_V = \frac{3}{2}nR

Следовательно:

C_P = C_V + nR = \displaystyle \frac{3}{2}nR + nR = \frac{5}{2}nR

Адиабатический показатель

Часто используется отношение C_P к C_V, поэтому ему дали специальное название. Адиабатический показатель \gamma определяется как:

\gamma = \displaystyle \frac{C_P}{C_V}

Для идеального газа адиабатический показатель имеет точное значение:

\gamma = \displaystyle \frac{5}{3}

Упражнения

1. Всегда ли верно, что dU=C_VdT? Сравните общий случай с идеальным газом и обоснуйте свой ответ.
2. Предположим, что для идеального газа выполняется соотношение U=C_VT. Рассчитайте:
   1. Внутреннюю энергию на единицу массы.
   2. Внутреннюю энергию на единицу объема.
3. Один моль моноатомного идеального газа содержится в цилиндре, ограниченном поршнем, и поддерживается при постоянной температуре T_0 за счет контакта с тепловым резервуаром. Газ медленно расширяется от объема V_1 до объема V_2, при этом температура остается постоянной на всем протяжении процесса.
   1. Изменяется ли внутренняя энергия газа?
   2. Рассчитайте работу, выполненную газом, и тепловой поток, поступивший в газ.
4. Покажите, что для идеального газа выполняются следующие соотношения:

   \displaystyle \frac{R}{C_V} = \gamma-1

   \displaystyle \frac{R}{C_P} = \frac{\gamma -1}{\gamma}

   где C_V и C_P — это молярные теплоемкости.