Неопределённые интегралы и базовые методы интегрирования

В этом занятии вводятся базовые методы вычисления самых элементарных неопределённых интегралов, а также свойства оператора интегрирования. Это охватывает полиномиальные, экспоненциальные, гиперболические и базовые тригонометрические интегралы.

Цели обучения:
По завершении этого занятия студент будет способен

1. Понять процесс неопределённого интегрирования как обратный процесс по отношению к дифференцированию.
2. Вычислять интегралы полиномов и выражений, содержащих экспоненциальные, гиперболические и тригонометрические функции.
3. Использовать свойства интегралов для выполнения алгебраических преобразований, облегчающих их вычисление.

СОДЕРЖАНИЕ
ЗНАЧЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
АНТИПРОИЗВОДНЫЕ, НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПЕРВООБРАЗНЫЕ ФУНКЦИЙ
БАЗОВЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Значение неопределённых интегралов

Неопределённые интегралы являются фундаментальным инструментом в математическом анализе и имеют широкий спектр применений в физических и математических науках. Они позволяют вычислить первообразную данной функции, что, в свою очередь, используется для вычисления площадей под кривыми, объёмов тел, расчёта вероятностей и многих других приложений в физике, инженерии, статистике и экономике. Кроме того, неопределённые интегралы играют ключевую роль в решении дифференциальных уравнений, что делает их незаменимыми во многих областях науки и техники.

Антипроизводные, неопределённые интегралы и первообразные функций

Если функция F(x) имеет производную f(x) на некотором интервале I, то говорят, что F(x) является первообразной функции f(x) на этом интервале.

Важно помнить, что если F(x) — первообразная функции f(x), то и F(x) + C, где C — произвольная вещественная константа, также является первообразной. Это записывается следующим образом:

\displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C

Константа C называется константой интегрирования, и её наличие указывает на то, что первообразная функции — не единственная функция, а целое семейство функций: множество всех функций, производная которых равна f(x) на интервале I.

Слова антипроизводная, первообразная и неопределённый интеграл являются разными способами выразить одну и ту же идею, и мы используем их как синонимы. В сущности, неопределённый интеграл — это обратный процесс по отношению к вычислению производной, и именно из этой идеи следуют его основные свойства.

Базовые свойства неопределённых интегралов

Чтобы уметь вычислять неопределённые интегралы, необходимо сначала знать некоторые базовые свойства, которые непосредственно наследуются от свойств производных.

1. \displaystyle \int \dfrac{df(x)}{dx} dx = f(x) + C
   Потому что неопределённый интеграл — это обратный процесс к дифференцированию.




2. \displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx
   Где \lambda — произвольная вещественная константа. Это происходит потому что
   
   \begin{array} {} \displaystyle \int \lambda \dfrac{d\phi(x)}{dx}dx &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx}\lambda \phi(x) dx \\ \\ &= \lambda \phi(x) + C_1 \\ \\ &= \lambda(\phi(x) + C_2) \\ \\ &= \lambda \displaystyle \int \frac{d\phi(x)}{dx}dx \end{array}
   
   
   А затем, используя f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx}, получаем
   
   \displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x)dx




3. \displaystyle \int f(x) + g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx
   
   Это можно доказать аналогично предыдущему. Рассмотрим две функции \phi(x) и \psi(x), такие что
   
   
   f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx} и g(x) = \dfrac{d\psi(x)}{dx}
   
   
   Тогда получаем
   
   
   \begin{array} {} \displaystyle \int f(x) + g(x) dx &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} + \dfrac{d\psi(x)}{dx} dx \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx} (\phi(x) + \psi(x)) dx \\ \\ &= \phi(x) + \psi(x) + C \\ \\ &= (\phi(x) + C_1) + (\psi(x) + C_2) \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} dx + \int \dfrac{d\psi(x)}{dx}dx \\ \\ &= \displaystyle \int f(x) dx + \int g(x) dx \end{array}

Базовые методы интегрирования

Существуют базовые методы интегрирования, которые позволяют нам вычислять некоторые неопределённые интегралы, используя известные результаты дифференцирования. С помощью этих методов можно получить следующие полезные результаты для интегрирования:

Интегралы полиномиальных функций

1. \displaystyle \int 1 dx = x + C
   
   Поскольку \dfrac{d}{dx} (x + C)= 1
2. \displaystyle \int x^q dx = \dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C, при условии, что q\neq -1
   
   Потому что \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C\right) = x^q.

С этими результатами и базовыми свойствами можно без труда вычислять интегралы любых полиномов.

Интегралы экспоненциальной и логарифмической функций

Исходя из известных результатов производных экспоненциальных и логарифмических функций, получаем следующие основные результаты:

1. \displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C
   Поскольку \dfrac{d}{dx}\left(e^x + C\right) = e^x
2. \displaystyle \int \dfrac{1}{x} dx = ln|x| + C
   
   Поскольку \dfrac{d}{dx}\left(ln|x| + C \right) = \dfrac{1}{|x|} sig(x) = \dfrac{1}{x}
   
   Где sig(x) — это функция знака, определённая следующим образом:
   
   
   sig(x) = \left\{\begin{array}{} +1 &,&0\lt x \\ -1 &,& x\lt 0 \end{array}\right.

Результат интеграла 1/x расширяет наши возможности интегрирования, поскольку теперь мы можем начинать интегрировать дробные выражения с полиномами.

Интегралы базовых гиперболических функций

Базовые гиперболические функции это

\begin{array} {} sinh(x) &=& \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \\ cosh(x) &=& \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \end{array}

Поскольку мы уже знаем, как интегрируется экспоненциальная функция, не будет никаких трудностей с интегралами гиперболического синуса и косинуса.

Для гиперболического синуса вычисление практически прямое:

\begin{array} {} \displaystyle \int sinh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx - \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x + e^{-x} \right) + C = cosh(x) + C \end{array}

А для гиперболического косинуса вычисления аналогичны:

\begin{array} {} \displaystyle \int cosh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx + \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x - e^{-x} \right) + C = sinh(x) + C \end{array}

Кроме этих, существуют и другие гиперболические функции, которые можно интегрировать:

\begin{array} {} tanh(x) &=& \dfrac{sinh(x)}{cosh(x)} \\ sech(x) &=& \dfrac{1}{cosh(x)} \\ {}csch(x) &=& \dfrac{1}{sinh(x)} \\ ctgh(x) &=& \dfrac{1}{tanh(x)} \end{array}

Однако для их интегрирования нужны другие методы, которые мы рассмотрим на следующих занятиях.

Интегралы базовых тригонометрических функций

Базовые тригонометрические функции — это sin(x) и cos(x). Их интегралы можно вычислить напрямую, используя известные производные:

\begin{array} {} \displaystyle \int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \\ {} \displaystyle \int cos(x) dx = sen(x) + C \end{array}

Это потому что

\begin{array} {} \dfrac{d}{dx}\left( sin(x) + C \right) &=& cos(x) \\ \\ {} \dfrac{d}{dx}\left( cos(x) + C \right) &=& -sin(x) \\ \\ \end{array}

Заключение

На этом занятии мы изучили неопределённые интегралы — от их теоретических основ до простейших практических приложений. Мы узнали, что интегрирование — это обратный процесс по отношению к дифференцированию, изучили их основные свойства и применили прямые методы интегрирования к полиномиальным, экспоненциальным, логарифмическим, гиперболическим и тригонометрическим функциям. Эти знания являются необходимым фундаментом для решения более сложных задач интегрирования в будущем и будут крайне важны для изучения продвинутых приложений в физике, инженерии и других науках. Благодаря этому базовому пониманию мы сможем перейти к более продвинутым методам интегрирования на следующих занятиях.