Давление жидкостей в состоянии покоя

Что мы знаем о давлении жидкости в состоянии покоя? Мы знаем, что если поместить её в резервуар, то, согласно соотношению P=F/A, и благодаря её весу, в каждой точке жидкости будет давление, которое зависит от глубины.

Давление жидкости в состоянии покоя в какой-либо точке напрямую пропорционально её глубине. Мы знаем это по следующему выражению:

P = \rho g h

Где \rho — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения, а h — глубина.

Мы можем доказать это, погружая воображаемый цилиндр с горизонтальной площадью основания A на некоторую глубину h в жидкости.

Мы увидим, что диск будет сдавлен весом жидкости сверху и нормальной силой снизу, которая равна и противоположна по направлению весу (поскольку мы предполагаем, что система находится в покое).

Вывод формулы для давления жидкости в состоянии покоя: {P=\rho g h}

Жидкость образует над погружённым телом другой цилиндр с той же площадью основания A, но высотой h, и, следовательно, имеющий объём.

V=A h

Откуда мы можем сделать вывод, что

\displaystyle A=\frac{V}{h}

Если плотность жидкости \rho, то масса жидкости, давящая на диск, равна m=\rho V, и, следовательно, она создает весовую силу

F_p=m g = \rho V g

Точно так же нормальная сила действует на нижнюю поверхность цилиндра с той же величиной, но в противоположном направлении.

Поскольку вес и нормальная сила направлены вертикально, они не создают давления на боковые стороны цилиндра.

Если рассмотреть цилиндр достаточно плоским и легким, его вес не будет влиять на баланс нормальной силы, и любое воздействие на боковые стороны можно пренебречь. Таким образом, общая сила на тело будет:

F_{total}=F_p + F_n = 2\rho V g

Знак «+» в этой силе означает, что силы направлены к поверхности.

Следовательно, давление на погружённое тело будет:

\displaystyle P = \frac{F_{total}}{A_{нижнее}+A_{верхнее}}=\frac{2 \rho V h}{2A} = \frac{\rho V g}{\frac{V}{h}} = \rho g h

Таким образом, мы видим, что давление, создаваемое жидкостью (в состоянии покоя), одинаково во всех точках на одной глубине. Это применимо как к жидкостям, так и к газам (при условии, что они находятся в состоянии покоя).

Атмосферное давление на уровне моря равно

P_{atm} = 1[atm] = 101.325,0 [Pa] = 760 [Torr]=0.981[barr].

Мы должны помнить, что 1[Pa] = 1[N/m^2].

Соединяя атмосферное давление с давлением, создаваемым жидкостью из-за её веса, мы получаем гидростатическое давление

P = P_{atm} + \rho g h

Относительное давление

Когда мы измеряем давление, мы обычно находимся в какой-то среде. Иногда давление среды имеет значение, а иногда нет. Например, когда вы измеряете давление в шинах вашего автомобиля, вы не добавляете атмосферное давление, потому что, что действительно важно для их нормальной работы — это разница давления внутри шины и в окружающей среде:

Если оно слишком высокое, шина перекачана; если слишком низкое, шина спущена.

Поэтому существует несколько способов говорить о давлении.

Атмосферное давление

Мы уже говорили об этом ранее, это давление среды, в которой мы находимся. Например, в Гималаях атмосферное давление может быть в три раза меньше, чем на уровне моря. Оно обычно обозначается как P_{atm} или P_{0}.

Абсолютное давление

Когда мы учитываем давление, полученное как сумму всех сил, действующих на тело, мы говорим о абсолютном давлении. Гидростатическое давление, которое мы рассмотрели ранее, является формой абсолютного давления, потому что оно учитывает сумму давлений из-за веса жидкости и атмосферного давления. Другой способ выразить абсолютное давление — это «давление по отношению к вакууму». Мы обозначаем его как P_{abs}.

Манометрическое и вакуумное давление

Когда мы измеряем давление в шинах автомобиля, как шина, так и измерительный прибор находятся под атмосферным давлением. Поэтому прибор фактически измеряет разницу давления между внутренней частью шины и окружающей средой. Это давление называется «манометрическим» и обозначается как P_{man}, и оно удовлетворяет соотношению:

P_{man} = P_{abs} - P_{atm}

Давление, которое мы измеряем, учитывая только вес жидкости, является примером манометрического давления. Если абсолютное давление выше атмосферного, мы измеряем манометрическое давление, в противном случае мы измеряем вакуумное давление P_{vac}, которое определяется аналогичным образом:

P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}

Это происходит, например, когда вы вытягиваете воздух из шприца, закрываете отверстие и тянете поршень назад; атмосферное давление будет пытаться вернуть поршень назад, и давление внутри шприца, следовательно, будет вакуумным давлением.

Практические примеры

Человек только что построил бассейн длиной 39[футов], шириной 26[футов] и глубиной 5,2[фута], и у него возникли следующие вопросы:

1. Он купил насос для бассейна, но только дома вспомнил, что нужно посмотреть спецификации производителя. В них указано, что манометрическое давление не должно превышать 0,193[атм]. Сможет ли он установить насос на дне своего бассейна?
2. Не удовлетворившись тем, что забыл про спецификации насоса, у этого человека есть проблема со слухом. Его барабанные перепонки не могут выдерживать силу больше 10[Н]. Если его барабанные перепонки имеют диаметр 1[см] и почти идеальную круговую форму, сможет ли этот человек безопасно нырять на дно бассейна?

РЕШЕНИЕ:

1. 1. В этом случае манометрическое давление на дне бассейна можно определить как давление, создаваемое только водой в бассейне. Таким образом, по формуле давления для жидкости в состоянии покоя мы получаем:

      P_{man} = \rho g h

      Принимая плотность воды \rho=997[кг/м^3], глубину, переведенную в метры h=5.2[футов] = 5.2\cdot 0.3048[м], и ускорение свободного падения g=9.81[м/с^2], мы получаем, что манометрическое давление на дне бассейна будет:

      P_{man} =997[кг/м^3]\cdot 9.81[м/с^2] \cdot5.2\cdot 0.3048[м] \approx 15.501,81[Па]

      Но 1[атм] = 101.325[Па], поэтому

      \displaystyle P_{man} \approx \frac{15.501,81}{101.325}[атм]\approx 0.1523[атм]

      Так что да. Поскольку манометрическое давление на дне бассейна ниже 0,193[атм], указанного производителем как предельное значение для правильной работы насоса, насос будет работать нормально, и человек не потратил свои деньги зря.

   2. Из предыдущей части мы уже рассчитали манометрическое давление на дне бассейна, но теперь нам нужно общее давление. Здесь нет проблем, нам просто нужно вспомнить:

P_{total} = P_{man} + P_{atm}

и у нас уже есть оба значения. Это дает нам:

P_{total} \approx 15.501,81[Па] + 101.325[Па] = 116.286,81[Па]

Теперь нам нужно узнать площадь барабанной перепонки этого человека. Поскольку барабанная перепонка приближена к кругу, мы можем рассчитать её площадь:

\displaystyle A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}

Здесь я выразил площадь окружности через диаметр d, который равен 1[см]. Поэтому:

\displaystyle A \approx \frac{3.14 \cdot 1[см^2]}{4} = \frac{3.14 \left[\frac{м}{100}\right]^2}{4} = \frac{3.14}{4\cdot 10.000}[м^2]=0.785\cdot 10^{-4}[м^2]

Наконец, поскольку P=F/A, общая сила, приложенная к барабанной перепонке этого человека под давлением на дне бассейна, будет:

F=PA\approx 116.826,81[Па] \cdot 0.785\cdot 10^{-4}[м^2] \approx 9.17[Н]

Так как это не превышает 10[Н], этот человек может безопасно нырнуть на дно бассейна. Ему очень повезло.