1. Алгебра многочленов: Определения

Чтобы понять алгебру многочленов, сначала нужно узнать, что такое многочлены. Многочлены — это алгебраические функции. Если x — это действительная переменная, то функция P(x) называется многочленом, если она может быть записана в виде:

\displaystyle P(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n,

где n — это неотрицательное целое число, а все a_i, i\in\{1,2,3,\cdots,n\}, являются действительными коэффициентами. Если существует k, такое что a_k\neq 0 и, когда k\lt i, выполняется a_i=0, то говорят, что значение k является степенью многочлена. Другими словами, степень многочлена — это наибольшая степень, сопровождающаяся ненулевым коэффициентом.

2. Типы многочленов

Многочлены классифицируются по их степени; поэтому, когда упоминается многочлен, обычно говорят, что это многочлен степени k, когда k — это наибольшая степень x, сопровождающая ненулевой коэффициент этого многочлена.

2.1. Постоянные многочлены

Это семейство включает в себя все многочлены нулевой степени и нулевой многочлен. Мы говорим, что многочлен имеет нулевую степень, если его можно записать в виде P(x)=c, где c\neq 0. С другой стороны, нулевой многочлен имеет вид P(x) = 0, и его степень не определяется.

3. Алгебра многочленов: Операции

Многочлены наследуют все свои свойства из алгебры действительных чисел. Особенно важны распределительные и ассоциативные свойства.

3.1. Сложение и вычитание

Если P и Q — это два многочлена степени n и m соответственно, при

m=n+k и 0\leq k,

то выполняется:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) \pm Q(x) &=\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \sum_{i=0}^m b_i x^i \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \left( \sum_{i=0}^n b_i x^i + \sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \right) \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n (a_i \pm b_i) x^i + \sum_{i=n+1}^m b_i x^i \end{array}

То есть коэффициенты при одинаковых степенях x складываются или вычитаются, в зависимости от случая.

ПРИМЕР:
Если P(x) = 3+5x+2x^2 и Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5, то:

P(x) + Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5

P(x) - Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5

3.2. Умножение

В том же контексте, что и для сложения и вычитания многочленов, произведение многочленов будет развиваться следующим образом:

Сначала различаем умножение на скаляр. Если c \in \mathbb{R}, то у нас есть:

\displaystyle c P(x) = c \sum_{i=0}^n a_i x^i =\sum_{i=0}^n c a_i x^i

А затем у нас есть умножение между многочленами:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) Q(x) &\displaystyle = \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) \left(\sum_{j=0}^m b_j x^j\right) \\ \\ &=\displaystyle \left[\sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) b_j x^j\right] \\ \\ &=\displaystyle \ sum_{j=0}^m \left( \ sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \ right) \\ \\ &=\displaystyle \ sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j} \end{array}

Это то, что мы бы суммировали через выражение «сумма произведений всех на всех».

ПРИМЕР:
Если P(x) = 4x+ 2x^2-x^4 и Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3, то:

P(x)Q(x) =\cdots \\ {} \\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\ {} \\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7

4. Факторизация и деление многочленов

Когда мы умножаем два многочлена, мы переходим от двух простых многочленов к более сложному многочлену (высшей степени). Когда мы факторизуем многочлен, мы следуем обратному процессу: преобразуем сложный многочлен в произведение двух или более многочленов низшей степени.

Чтобы факторизовать многочлен P(x), необходимо найти значения x, которые делают многочлен равным нулю; если такие значения существуют, то многочлен факторизуем. Говорить об их существовании легко, но найти их — это другая история. Мы рассмотрим этот вопрос более подробно, когда будем изучать факторизацию квадратных и (2n)-квадратных многочленов.

4.1. Известные произведения

Однако существуют случаи, когда факторизация достигается легко,
например, известные произведения. Некоторые из этих результатов таковы:

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

4. Алгоритм деления

Так же, как умножение целых чисел дает составные числа, а деление с использованием алгоритма деления позволяет факторизовать, когда остаток равен нулю, нечто подобное происходит с многочленами. Объяснить алгоритм деления «текстом» может быть немного сложно, гораздо легче понять, наблюдая непосредственно, как это делается и в каких случаях алгоритм приводит к факторизации. Для достижения этого мы рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР: Вычислить P(x):Q(x) для следующих случаев:

1. P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1, Q(x)=x-1 [РЕШЕНИЕ]
2. P(x)=x^4+2x^3-x+1, Q(x)=x^2-4 [РЕШЕНИЕ]
3. P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1, Q(x)=x^2+x+1 [РЕШЕНИЕ]
4. P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1, Q(x)=x^3-2x^2+1 [РЕШЕНИЕ]