Embora as operações com os números naturais sejam conhecidas, é necessário sintetizar este conhecimento usando um “modo um pouco mais matemático”. Por este motivo, faremos uma revisão das operações de soma, multiplicação e potência de números naturais e suas propriedades.

A origem das Operações Básicas com Números Naturais

Operação de Soma

O germe da operação de soma foi revisado na aula sobre Os Números Naturais e os Axiomas de Peano, porque o sucessor de um número natural também pode ser apresentado assim:

S(n) = n+1

Como dissemos que 2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \cdots e assim sucessivamente, então podemos interpretar a soma como a aplicação sucessiva da operação de sucessão.

n+1 =S(n),

n+2 =S(S(n)),

n+3 =S(S(S(n))),

\vdots

E em geral:

n+m = \underbrace{S(S(\cdots S(}_{m\;vezes} n)\cdots))

Propriedades da Soma

Se a,b,c\in\mathbb{N}, então a partir disso podemos obter as propriedades da soma que todos conhecemos:

Todas estas propriedades podem ser demonstradas por indução, mas vamos pular esse trabalho. No entanto, encorajo que tente isso como uma forma de praticar a técnica de indução.

Operação de Produto

De forma similar, define-se o produto de números naturais como uma aplicação sucessiva da soma. Portanto, temos que

n\cdot m = \underbrace{n+ n+ \cdots + n}_{m\;vezes}

Propriedades do Produto

E de forma análoga podem-se obter suas propriedades

Além disso, a partir da definição do produto, o “1” dos naturais adquire a qualidade que o transforma em unidade:

Soma e Produto Combinados

Quando as operações de soma e produto são combinadas, obtém-se a propriedade de distribuição da soma em relação à multiplicação

A Ordem Induzida pelas Operações dos Números Naturais

Desde as operações de soma e produto que revisamos, uma relação de ordem é induzida nos números naturais através das seguintes definições:

Propriedades da Ordem nos Números Naturais

Lei da Tricotomia

A partir disso, tem-se que apenas pode ocorrer uma e apenas uma das seguintes três situações:

1. a\lt b
2. a = b
3. a\gt b

Se ocorresse que, por exemplo, a não é menor que b, então teria que ocorrer uma das duas: ou a=b, ou a\gt b, ou seja, maior ou igual e se escreveria: a\geq b. E de forma análoga se escreve a\leq b. quando for menor ou igual.

Propriedade Transitiva

Se a,b e c são números naturais quaisquer, então cumpre-se que:

[(a\lt b) \wedge (b\lt c)] \rightarrow (a\lt c)

E analogamente:

[(a\gt b) \wedge (b\gt c)] \rightarrow (a\gt c)

Propriedade de Monotonicidade

Existe uma propriedade de monotonicidade tanto para a soma quanto para o produto, que é:

Operações Inversas: Subtração e Divisão de Números Naturais

Subtração de Números Naturais

Se a,b,c\in\mathbb{N}, dizemos que a diferença entre a e b (nessa ordem), escrita como a-b, é definida através da relação

a-b=c \leftrightarrow a= b+c

Como podemos ver, essa relação será verdadeira apenas se a\gt b, pois não existe um c\in \mathbb{N} com o qual se possa satisfazer esta relação se a\leq b.

Pela definição de subtração, temos a regra conhecida de \”o que está somando de um lado da igualdade pode passar para o outro lado subtraindo, e vice-versa\”.

Divisão de Números Naturais

Se a,b,c\in\mathbb{N}, dizemos que a divisão entre a e b (nessa ordem), escrita como a/b, é definida através da relação

a/b=c \leftrightarrow a= bc

Pela definição de divisão, temos a regra de \”o que está multiplicando de um lado da igualdade pode passar para o outro lado dividindo, e vice-versa\”.

Assim como para que a subtração a - b exista, deve cumprir-se que a\gt b, para que exista a divisão a/b é necessário que a seja \”divisível\” por b. Isso é representado escrevendo

a é divisível por b \; :=a|b \; := \; (\exists k \in \mathbb{N})(a = kb)

Potências de Números Naturais

Com os números naturais, podem-se definir potências. Elevar um natural b, que chamamos de base, a outro natural n, que chamamos de expoente, significa multiplicar b vezes n. Assim sendo

b^n = \underbrace{bb\cdots b}_{n\;vezes}

Se a,b,n,m\in\mathbb{N}, por indução (dupla) podem-se demonstrar as seguintes propriedades:

1. \displaystyle b^nb^m=b^{n+m}
2. \displaystyle \frac{b^n}{b^m} = b^{n-m}, desde que n\lt m
3. \displaystyle (ab)^n=a^nb^n
4. \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
5. \displaystyle (b^n)^m=b^{nm}

Problemas Propostos e Resolvidos

1. Todas as propriedades que foram mostradas aqui podem ser demonstradas utilizando indução matemática (simples ou dupla), mas não as desenvolvi porque a demonstração resultante é desnecessariamente longa para estes resultados tão intuitivos. No entanto, quem seguir estas aulas pode tentar realizar essas demonstrações como exercício. [Apenas proposto]
2. É o mesmo b^{n^m} (que se define como b^{(n^m)}) que (b^n)^m? [Solução]
3. Utilizando as propriedades vistas, verifique as igualdades:
   a) (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd [Solução]
   
   b) (a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd,; se c\gt d [Solução]
   
   c)(a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd,; se a\gt b, c\gt d [Solução] 
4. Demonstre que
   
   a) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [Solução]
   
   b) (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2; se c\gt d [Solução]
   
   c) (a+b)(a-b) = a^2-b^2; se c\gt d [Solução]
   
   d) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 [Solução]
   
   e) (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3; se c\gt d [Solução]

    

5. Prove por indução completa as seguintes propriedades:
   
   a) 1+2+3+4+\cdots+n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} [Solução]
   
   b) 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [Solução]
   
   c) 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3 = \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} [Solução]