O Teorema do Sanduíche para o Cálculo de Limites
Resumo:
Esta aula apresenta o Teorema do Sanduíche, uma ferramenta chave no cálculo para avaliar limites difíceis usando funções mais simples que delimitam por cima e por baixo. É oferecida uma explicação gráfica e uma demonstração formal, seguida de exemplos práticos. O objetivo é que os estudantes compreendam como aplicar este teorema para calcular limites de forma mais eficiente.
Objetivos de Aprendizagem:
Ao completar esta aula, o aluno será capaz de
- Compreender a utilidade do Teorema do Sanduíche no cálculo de limites.
- Identificar funções que podem delimitar uma função objetivo para aplicar o teorema.
- Aplicar o Teorema do Sanduíche para calcular limites difíceis.
- Visualizar o conceito do Teorema do Sanduíche graficamente.
- Demonstrar o Teorema do Sanduíche de forma formal.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
Introdução
Ideia Gráfica do Teorema do Sanduíche
Demonstração do Teorema do Sanduíche
Exemplos
Introdução
A utilidade do teorema do Sanduíche está na facilidade que ele oferece para calcular alguns limites difíceis usando outros mais simples. O nome é dado porque, em vez de calcular diretamente o limite de uma função quando x\to x_0, usa-se outro par de funções, uma delimitando por cima e a outra por baixo, cujo limite em x_0 coincide e é fácil de obter. Como a função original está sempre entre as duas, ela fica como “o queijo entre as duas fatias de pão”.
Ideia Gráfica do Teorema do Sanduíche
A ideia que sintetiza o teorema é, na verdade, bastante simples. Suponhamos que queremos calcular um certo limite difícil
\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)
O que normalmente se faz é utilizar todo o nosso conhecimento da álgebra das funções para tentar simplificá-lo até o ponto em que possamos avaliá-lo. No entanto, em algumas ocasiões, uma abordagem diferente é muito mais eficiente. Suponhamos que temos um intervalo fechado I tal que x_0 \in I e que existam outras duas funções m(x) e M(x) que satisfaçam a relação
(\forall x\in I)(m(x)\leq f(x) \leq M(x) )
E que também
\displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = \lim_{x\to x_0} M(x) = L
Então será verdade que
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
Isso é o que podemos ver na imagem a seguir.
Demonstração do Teorema do Sanduíche
Para demonstrar o teorema do Sanduíche, seguiremos o seguinte raciocínio:
| (1) | x_0\in I; Premissa |
| (2) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = L ; Premissa |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_1 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_1 \rightarrow |m(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (3) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} M(x) = L ; Premissa |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_2 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_2 \rightarrow |M(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (4) | (\forall x \in I)(m(x) \leq f(x) \leq M(x) ); Premissa |
| (5) | (\forall x \in I)(m(x) - L \leq f(x) - L \leq M(x) - L ); De (4) |
| (6) | (|m(x) -L|\lt \epsilon) \rightarrow (-\epsilon \lt m(x) - L \lt \epsilon) |
| (7) | (|M(x) -L|\lt \epsilon ) \rightarrow (-\epsilon \lt M(x) - L \lt \epsilon) |
| (8) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( |M(x) -L| \lt \epsilon \wedge |m(x) -L| \lt \epsilon ) ); De (2,3) |
| (9) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( - \epsilon \lt f(x) - L \lt \epsilon ) ); De (1,5,6,7,8) |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow |f(x) - L| \lt \epsilon ) ) | |
| \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L\;\blacksquare |
Exemplos
Usando o Teorema do Sanduíche, podemos calcular o limite de funções mesmo quando não temos sua expressão algébrica explícita. A seguir, alguns exemplos disso:
Um exemplo disso ocorre na seguinte situação:
- Se \sqrt{5-2x^2}\leq f(x) \leq \sqrt{5-x^2}, quando -1\leq x\leq 1. Qual é o valor de \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)? [SOLUÇÃO]
Outro uso prático do teorema do Sanduíche ocorre quando o limite em si não é evidente em relação a outros mais simples que o delimitam por cima e por baixo, como o que se obtém ao calcular o seguinte caso:
- Calcular: \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} [SOLUÇÃO]