O que é uma sigma-álgebra? Definição e exemplos

Resumo
Nesta aula aborda-se a importância da sigma-álgebra na teoria da probabilidade. A sigma-álgebra é uma estrutura que contém todos os eventos mensuráveis de um espaço amostral, permitindo definir uma medida de probabilidade. Através de exemplos práticos, como os lançamentos de moedas e o tempo de vida de um aparelho eletrônico, explica-se como a sigma-álgebra é construída a partir das partes do espaço amostral. Também é apresentada a sigma-álgebra de Borel, associada a um espaço amostral contínuo, e são explicados seus eventos borelianos.

OBJETIVOS DE APRENDIZADO:
Ao completar esta aula, o aluno será capaz de:

Compreender a definição e características de uma sigma-álgebra, como estrutura matemática que permite definir uma medida de probabilidade.
Identificar os elementos que compõem uma sigma-álgebra e sua relação com os eventos mensuráveis de um espaço amostral.

ÍNDICE DE CONTEÚDOS
DEFINIÇÃO DE UMA SIGMA-ÁLGEBRA
A SIGMA-ÁLGEBRA NOS LANÇAMENTOS DE MOEDAS
A SIGMA-ÁLGEBRA EM CASOS CONTÍNUOS

Os eventos mensuráveis surgem no espaço de probabilidades através da sigma-álgebra. Através desta ideia, transforma-se uma noção inicialmente intuitiva em uma estrutura formalmente matemática que permitirá definir uma medida de probabilidade.

Definição de uma Sigma-Álgebra

Uma Sigma-Álgebra $\Sigma$ (ou σ-álgebra) é uma estrutura que contém todos os eventos mensuráveis de um espaço amostral. Diz-se que o par $\Sigma_{\Omega} = (\Omega, \mathcal{A}_{\Omega})$ é uma σ-álgebra de um espaço amostral $\Omega$ se satisfaz as seguintes condições:

$\emptyset,\Omega \in \mathcal{A}_\Omega$
$\left(E \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E^c = \Omega\setminus E \in \mathcal{A}_\Omega)$
$\left(E_1, E_2 \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E_1 \cup E_2 \in \mathcal{A}_\Omega)$

Todos os objetos $E\in\mathcal{A}_\Omega$ são chamados de Eventos de $\Omega$ .

A sigma-álgebra nos lançamentos de moedas

EXEMPLO 1

Para o lançamento de uma moeda, a sigma-álgebra é dada por

\Sigma_{1m}=(\Omega_{1m}, \mathcal{A}_{1m})

, onde

$\Omega_{1m}= \{C,S\}$
$\mathcal{A}_{1m}= \{\emptyset,\{C\},\{S\}, \Omega_{1m}\}$

Cada elemento de $\mathcal{A}_{1m}$ é um evento que pode ser identificado como:

$\emptyset$ “Não sai cara nem coroa” (é o evento impossível).
$\{C\}$ “É o evento em que sai cara”.
$\{S\}$ “É o evento em que sai coroa”.
$\Omega_{1m}= \{C,S\}$ “Sai qualquer uma das duas, cara ou coroa” (é o evento certo).

EXEMPLO 2

Se, em vez de uma, lançamos duas moedas, uma possível σ-álgebra

\Sigma_{2m}=(\Omega_{2m}, \mathcal{A}_{2m})

pode ser obtida a partir das partes de

\Omega_{2m}

. Dessa forma, temos o seguinte:

$\Omega_{2m}= \{(C,C);(C,S); (S,C); (S,S)\}$
$\mathcal{A}_{2m}=\mathcal{P}(\Omega_{2m}) = \cdots$ $\cdots = \{\emptyset; \{(C,C)\}; \left\{(C,S)\}; \{(S,C)\}; \{(S,S)\}; \cdots \right.$ $\cdots; \{(C,C);(C,S)\};\{(C,C);(S,C)\};\{(C,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,S);(S,C)\};\{(C,S);(S,S)\};\{(S,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,C);(C,S);(S,C)\};\{(C,C);(C,S);(S,S)\}\cdots$ $\left.\cdots; {(C,C);(S,C);(S,S)}; {(C,S);(S,C);(S,S)}; \Omega_{2m}\right\}$

Cada elemento de $\mathcal{A}_{2m}$ é um evento de $\Omega_{2m}$ . A seguir, são nomeados alguns deles:

$\emptyset$ “Não há nenhum resultado” (evento impossível).
${(C,C)}$ “Duas caras consecutivas”.
${(C,S)}$ “Primeiro sai cara e depois coroa”.
$\vdots$
${(C,C);(C,S)}$ “O primeiro é cara e o segundo pode ser qualquer coisa”.
${(C,C);(S,C)}$ “O primeiro pode ser qualquer coisa e o segundo é cara”.
${(C,C);(S,S)}$ “Ambos os lançamentos dão o mesmo resultado”.
$\vdots$
${(C,C);(C,S);(S,S)}$ “Se o primeiro for coroa, o segundo também é coroa, caso contrário, o segundo pode ser qualquer coisa”.
${(C,C);(S,C);(S,S)}$ “Se o primeiro for cara, o segundo também é cara, caso contrário, o segundo pode ser qualquer coisa”.
$\vdots$
$\Omega_{2m}$ “Qualquer resultado é possível” (evento certo).

As sigma-álgebras em casos contínuos

EXEMPLO 3

Para o tempo de vida (medido em horas) de um aparelho eletrônico que pode estragar a qualquer momento, a σ-álgebra

\Sigma_e = (\Omega_e, \mathcal{A}_e)

será dada por:

$\Omega_e = [0, \infty[$
$\mathcal{A}_e = \{I \; | \; I \subseteq \Omega_e \}$

Dessa forma, os intervalos $I_t = ]0,t[\in\mathcal{A}_e$ podem ser interpretados como “o aparelho eletrônico funciona corretamente durante um intervalo de $t$ horas seguidas até que estrague.

A sigma-álgebra de probabilidade associada a um espaço amostral contínuo também é conhecida como σ-álgebra de Borel e seus eventos são conhecidos como borelianos.

O que é uma sigma-álgebra? Definições e Exemplos

O que é uma sigma-álgebra? Definição e exemplos

Definição de uma Sigma-Álgebra

A sigma-álgebra nos lançamentos de moedas

As sigma-álgebras em casos contínuos

Deixe um comentário