Revisão das Transformações de Lorentz

Na relatividade especial, descarta-se a ideia de um tempo absoluto. Em seu lugar, estabelece-se que a velocidade da luz, c, é constante em todos os referenciais inerciais. Essa mudança, combinada com o princípio da relatividade, nos leva às Transformações de Lorentz. Essas transformações conectam as coordenadas de um evento observado a partir de dois referenciais inerciais distintos. Este tema é explorado em detalhe na aula sobre Transformações de Lorentz na Relatividade Especial.

Ao considerar referenciais inerciais S e S^\prime em configuração padrão, onde seus eixos e origens coincidem em t=t^\prime =0, e um fóton emitido em t=t^\prime = 0 a partir da origem, as coordenadas de espaço e tempo do fóton em cada referencial devem cumprir com a equação:

c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 - {y^\prime}^2 - {z^\prime}^2 = 0.

A partir desta equação e do princípio da relatividade derivamos as conhecidas transformações de Lorentz:

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Onde \beta_{ss^\prime_x} =v_{ss^\prime_x}/c é o boost de velocidade adquirido por S^\prime ao se mover em relação a S a uma velocidade v_{ss^\prime_x}, e \gamma_{ss^\prime_x} = 1/\sqrt{1-\beta_{ss^\prime_x}^2} é o fator de Lorentz associado. Esta transformação de Lorentz na direção \hat{x} simplifica-se à transformação galileana quando v_{ss^\prime_x} \ll c.

Similar às transformações de Galileu, existe uma simetria que facilita calcular a transformação inversa, simplesmente trocando os termos e considerando que \beta_{ss^\prime_x} = -\beta_{s^\prime s_x}:

\begin{array}{rl} ct &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct^\prime + \beta_{ss^\prime_x} x^\prime),\\ x &= \gamma_{ss^\prime_x}(x^\prime + \beta_{ss^\prime_x} ct^\prime),\\ y &= y^\prime, \\ z &= z^\prime. \end{array}

O Espaço-Tempo de Minkowski

As transformações de Lorentz revelam que as coordenadas de espaço e tempo estão intrinsecamente entrelaçadas. Esta relação é particularmente clara na simetria entre ct e x. Ao considerar dois eventos, A e B, com coordenadas (ct_A, x_A, y_A, z_A) e (ct_B, x_B, y_B, z_B). No referencial S, definimos a distância quadrática da seguinte maneira:

\begin{array}{rl} \Delta s^2 &= c^2(t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \end{array}

A distância de espaço-tempo, \Delta s, é escrita como \Delta s = \sqrt{c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)}. Aqui, \Delta t representa uma distância temporal e \Delta r = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} é uma distância espacial.

O Espaço-Tempo de Minkowski, caracterizado por esta noção de distância de espaço-tempo \Delta s, é fundamental na relatividade especial. Foi introduzido por Hermann Minkowski e se distingue das coordenadas espaciais e temporais por ser invariante sob transformações de Lorentz.

\Delta s = \Delta s^\prime

Neste modelo, o espaço e o tempo combinam-se em um contínuo quadridimensional. Diferente da geometria euclidiana, a geometria do espaço-tempo de Minkowski é pseudo-euclidiana devido aos sinais negativos em seus componentes espaciais. No entanto, para um tempo t constante, a geometria espacial de Minkowski mantém-se euclidiana.

O que acontece com as distâncias de espaço, de tempo e de espaço-tempo com as transformações de Lorentz?

Como mencionado anteriormente, as distâncias de espaço-tempo \Delta s são invariantes sob transformações de Lorentz, mas além disso, também temos que as distâncias de tempo e de espaço, separadamente, mudam sob essas transformações. O que faremos a seguir é a demonstração passo a passo desses fatos.

Primeiro, lembramos os eventos A e B considerados no início com suas respectivas coordenadas de espaço-tempo em relação ao sistema S:

• Evento A: (ct_A,x_A, y_A, z_A)
• Evento B: (ct_B,x_B, y_B, z_B)

Para esses desenvolvimentos utilizaremos sem perda de generalidade as transformações de Lorentz para sistemas S e S^\prime em configuração padrão onde S^\prime se move com velocidade \vec{v}_{ss^\prime_x}= v_{ss^\prime_x} \hat{x} = \beta_{ss^\prime_x}c \hat{x} em relação a S

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Desenvolvimento para distâncias de tempo puro

Suponhamos que os eventos A e B, observados a partir do referencial S, estão separados apenas pelo tempo, como os tiquetaques de um relógio. Neste caso, o tempo decorrido entre um tiquetaque será calculado da seguinte maneira:

c\Delta t = c(t_B - t_A)

Por outro lado, a separação temporal entre o mesmo par de eventos observados a partir de S^\prime será:

c\Delta t^\prime = c(t^\prime_B - t^\prime_A)

Essas separações temporais estão relacionadas através das transformações de Lorentz da seguinte maneira:

\begin{array}{rl} c\Delta t^\prime &= c(t^\prime_B - t^\prime_A) \\ \\ &= ct^\prime_B - ct^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B) - \gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x \end{array}

Agora, dado que os eventos A e B estão separados apenas no tempo para o observador em S, temos que \Delta x = 0. Portanto:

\boxed{\Delta t^\prime = \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t}

É importante destacar que:

\gamma_{ss^\prime_x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2_{ss^\prime_x}}} \in [1, +\infin[

Isso ocorre porque \beta^2_{ss^\prime_x} = \dfrac{v^2_{ss^\prime_x}}{c^2} \in [0,1[.

Em termos simples, se um observador em S mede um intervalo de tempo \Delta t como o tiquetaque de um relógio, um observador em S^\prime medirá este mesmo intervalo como \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t, que é maior ou igual a \Delta t. Este efeito, conhecido como dilatação do tempo, indica como o tempo se estende entre observadores inerciais que experimentam um boost de velocidade \beta_{ss^\prime_x}. Portanto, o decorrer do tempo não é o mesmo para todos os observadores inerciais, evidenciando que as distâncias de tempo não são invariantes sob transformações de Lorentz.

Desenvolvimento para Distâncias de Espaço Puro

Suponhamos que os eventos A e B estão separados apenas no espaço, como as extremidades de uma régua. Assumimos, sem perda de generalidade, que esta régua está orientada ao longo do eixo \hat{x} de S. Então, teremos:

\Delta x = x_B - x_A

Vista a partir de S^\prime, esta separação espacial seria:

\Delta x^\prime = x^\prime_B - x^\prime_A

Aplicando as transformações de Lorentz, podemos estabelecer a relação entre ambas observações:

\begin{array}{rl} \Delta x^\prime &= x^\prime_B - x^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B) - \gamma_{ss^\prime}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime} \Delta x - \gamma_{ss^\prime}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t \end{array}

Dado que os eventos A e B são simultâneos para S, deduz-se que \Delta t = 0, e portanto:

\boxed{\Delta x^\prime = \gamma_{ss^\prime} \Delta x}

Por exemplo, se colocarmos uma régua de comprimento l_0 dentro de um vagão de trem (observador S^\prime), que se move em relação a nós (observador S), e a régua está alinhada com a direção do movimento, o comprimento observado será:

\begin{array}{rl} & l_0 = \gamma_{ss^\prime} l \\ \\ \equiv & l = \dfrac{l_0}{\gamma_{ss^\prime}} \leq l_0. \end{array}

Isso significa que perceberemos o comprimento da régua como se fosse mais curto do que é na realidade. Este fenômeno é conhecido como contração de Lorentz e demonstra que os intervalos de espaço não se conservam sob transformações de Lorentz.

Desenvolvimento para Distâncias de Espaço-Tempo

Após analisar como se transformam as distâncias de espaço puro e de tempo puro, examinemos agora o comportamento das distâncias de espaço-tempo sob transformações de Lorentz. Lembremos que uma distância de espaço-tempo, observada pelo observador S^\prime para dois eventos A e B, é expressa da seguinte maneira:

\begin{array}{rl} \Delta s^\prime &= \sqrt{c^2\Delta t^{\prime 2} - (\Delta x^{\prime 2} + \Delta y^{\prime 2} + \Delta z^{\prime 2})} \\ \\ &= \sqrt{c^2 (t^{\prime 2}_B - t^{\prime 2}_A) - \left[(x^{\prime 2}_B - x^{\prime 2}_A) + (y^{\prime 2}_B - y^{2}_A) + (z^{\prime 2}_B - z^{2}_A) \right]} \end{array}

A seguir, veremos como se relacionam essas distâncias após aplicar as transformações de Lorentz, no caso de que S^\prime tenha um boost de velocidade \beta_{ss^\prime_x} em relação a S.

\color{black} \begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= (c^2 t^{\prime 2}_B - c^2 t^{2}_A) - \left[(x^{\prime 2}_B - x^{2}_A) + (y^{\prime 2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right] \\ \\ \\ &= \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)\right]^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \left( \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)\right]^2 \right) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}^2 (ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)^2 + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_B^2 \color{black} - \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_B x_B} + \color{green}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_B^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_A^2\color{black} + 2 \cancel{\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_A x_A} - \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_A^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{green} \gamma_{ss^\prime_x}^2x_B^2 \color{black} + \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_B x_B} - \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_B^2 \color{black}+ \cdots \\ \\ & \cdots + \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2x_A^2\color{black}- \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_A x_A} + \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 (1- \beta_{ss^\prime_x}^2)c^2 t_B^2\color{black} - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 (1- \beta_{ss^\prime_x}^2)c^2 t_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{green}\gamma_{ss^\prime_x}^2(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)x_B^2\color{black} + \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)x_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ \end{array}

Finalmente, lembrando que \gamma_{ss^\prime_x}^2 = 1/(1-\beta_{ss^\prime_x}^2), obtemos o seguinte:

\begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= c^2 t_B^2 - c^2 t_A^2 - x_B^2 + x_A^2 - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ &= c^2 (t_B^2 - t_A^2) - \left\{ (x_B^2 - x_A^2) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ &= c^2 \Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \\ \\ &= \Delta s^2 \end{array}

Com isso, demonstramos que, ao contrário das distâncias de tempo e espaço puros, as distâncias de espaço-tempo mantêm-se constantes sob transformações de Lorentz.