Introdução

Os limites laterais surgem quando nos deparamos com limites que só poderiam existir pela esquerda ou pela direita, mas não de ambos os lados. Os que estudamos até agora são precisamente deste último tipo: para que o limite da função f quando x\to x_0 exista, é necessário que f esteja bem definida em ambos os lados de x_0; se isso não acontecer, a definição de limite não funcionará. Como as situações em que esse tipo de limites ocorre são frequentes, é necessário encontrar uma forma de lidar com elas. Isso é resolvido através de uma definição formal.

Ideia Intuitiva de Limites Laterais e Bilaterais

Para que o limite de uma função exista f, quando x\to x_0, é necessário que a função esteja bem definida em ambos os lados de x_0. Se isso ocorrer, então falamos de um limite bilateral. E se tal limite também resultar em L, então não haveria problema em escrever

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L

Agora, imagine que redefinimos essa função de tal forma que seu domínio inclua apenas valores maiores que x_0. Se fizermos isso, notaremos que o limite deixou de existir (porque existirão valores de x para os quais não fará sentido); no entanto, graficamente ainda poderíamos dizer que, quando x\to x_0, f(x) continua tendendo a L. A ideia intuitiva que estamos produzindo aqui é a do limite lateral pela direita, que é o que representaríamos através da notação

\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L

e de forma completamente análoga teremos o limite pela esquerda

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = L

Finalmente, o limite bilateral existirá sempre que os limites laterais existirem e forem iguais

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0^-}f(x)

Definição Formal de Limites Laterais

Para definir formalmente os limites laterais, é suficiente aplicar uma pequena modificação na definição original de limite.

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L := \left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. 0\lt|x-x_0|\lt\delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Para os limites laterais pela direita, a definição fica assim:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Para os limites laterais pela esquerda será:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Condições para a Álgebra de Limites

O interessante em ter essas definições é que ambas estão contidas ao mesmo tempo na definição usual de limite, e isso é importante porque nos isenta de provar novamente todas as propriedades que já provamos para os limites bilaterais. Toda a álgebra de limites funcionará tal como vimos em aulas anteriores, desde que os limites envolvidos sejam da mesma natureza (ambos pela esquerda, ou ambos pela direita, nunca misturados), estejam direcionados ao mesmo ponto e existam nesse ponto.

Exercícios Propostos e Resolvidos

1. \displaystyle \lim_{x\to {\frac{1}{2}}^- } \sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} [SOLUÇÃO]
2. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} [SOLUÇÃO]
3. \displaystyle \lim_{x\to 2^+} \left(\dfrac{x}{x+1} \right) \left(\dfrac{2x+5}{x^2+x} \right) [SOLUÇÃO]
4. \displaystyle \lim_{x\to 1^-} \left(\dfrac{1}{x+1} \right) \left(\dfrac{x+6}{x} \right) \left(\dfrac{3-x}{x} \right) [SOLUÇÃO]
5. \displaystyle \lim_{h\to 0^+ } \dfrac{\sqrt{h^2 + 4h +5} - \sqrt{5}}{h} [SOLUÇÃO]
6. \displaystyle \lim_{h\to 0^-} \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5h^2 + 11h +6}}{h} [SOLUÇÃO]

7. a. \displaystyle \lim_{x\to -2^+} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   b. \displaystyle \lim_{x\to -2^-} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   [SOLUÇÃO]

8. a. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   b. \displaystyle \lim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   [SOLUÇÃO]