Limite das Funções de uma Variável Real
Resumo:
Nesta aula, revisa-se em profundidade a definição formal de limite das funções de uma variável real e, a partir dela, demonstram-se as principais propriedades que conduzem à álgebra dos limites.
Objetivos de Aprendizagem:
Ao finalizar esta aula, o estudante será capaz de:
- Recordar a definição de limite de funções de uma variável real.
- Demonstrar as propriedades que conduzem à álgebra dos limites por meio de deduções \epsilon-\delta.
- Calcular limites de funções de uma variável real utilizando a álgebra de limites e suas propriedades.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS
Introdução
A noção intuitiva de limite de uma função a partir de uma abordagem gráfica
A Definição Formal de Limite
Propriedades dos Limites
Se o limite existe, então é único
Álgebra de Limites
Cálculo de limites simples
Introdução
A palavra limite normalmente associamos com uma espécie de fronteira, como a fronteira de um intervalo de extremos a, b (independente de sua natureza)
[a,b[\;\; ;\;\; ]a,b]\;\; ; \;\; ]a,b[\;\; ; [a,b] ,
ou como com o presente, do qual podemos dizer ser a fronteira entre o passado e o futuro. De forma mais ou menos semelhante, a ideia de limite introduz a compreensão matemática desta ideia intuitiva de nos aproximarmos assimptoticamente de um certo ponto.
A noção intuitiva de limite de uma função a partir de uma abordagem gráfica
Para começar a visualizar a ideia de limite, é apropriado iniciar a representação gráfica de uma função e perguntar o que acontecerá com f(x) à medida que x se aproxima de x_0 tanto quanto desejado.
Se x estiver perto de x_0, então existirá um intervalo aberto de raio \delta e centro x_0 tal que o x estará contido nele. Isso pode ser representado de três formas diferentes:
|x-x_0|\lt \delta,
|x\in]x_0 - \delta , x_0 + \delta[ ,
ou ainda x\in\mathcal{B}(x_0,\delta)
Em nosso contexto, estas são três formas de dizer a mesma coisa; embora a última, que se lê como “o x contido na bola aberta de centro x_0 e raio \delta, seria mais adequada para um curso de topologia, onde esse “tema da proximidade” seria abordado de forma muito mais aprofundada.
Se isso acontecer, então observaremos que existirá outro intervalo aberto de centro l e raio \epsilon tal que f(x) estará contido nele, ou seja: |f(x) - l|\lt \epsilon.
Daqui emerge a ideia base do conceito matemático de limite, do fato de que este existirá quando: se 0 \lt|x-x_0|\lt \delta, então |f(x)-l|\lt \epsilon; e esse valor l será o limite da função quando x se aproximar de x_0 tanto quanto desejarmos.
A Definição Formal de Limite
A partir da concepção intuitiva e gráfica apresentada, é possível começar a esclarecer a definição formal de limite. Dizemos que o limite existe quando, não importa quem seja este \epsilon (ou seja, a distância entre f(x) e l), sempre existirá um \delta tal que, se for cumprido que 0 \lt|x-x_0|\lt \delta, então será cumprido que |f(x) - l|\lt \epsilon. Esta ideia que, a princípio, é difícil de capturar e causa lágrimas na maioria dos estudantes de cálculo no mundo, pode ser sintetizada pela seguinte expressão:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=l := \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - l|\lt \epsilon\right),
Propriedades dos Limites
O importante de ter uma definição formal de limite é que agora, a partir dela, podemos demonstrar suas propriedades, tanto aquelas que são intuitivas quanto outras que não são tanto.
Antes de continuar, embora não seja estritamente necessário, é altamente recomendável que você revise alguns conceitos de lógica matemática para que possa entender com mais facilidade as demonstrações a seguir.
Se o limite existe, então é único
Para demonstrar esta propriedade, vamos utilizar a técnica de redução ao absurdo. Começaremos definindo o seguinte conjunto de premissas:
\displaystyle\mathcal{H}= \{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\}.
A partir disso, podemos construir a seguinte prova formal:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Presunção |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon\right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime ; Presunção |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash L \neq L^\prime ; Presunção |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); \wedge–Int(1,2) |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); Monotonia(4) |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \epsilon = \frac{L - L^\prime}{2}\gt 0 ; Porque L \lt L^\prime |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \frac{L - L^\prime}{2} \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \frac{L - L^\prime}{2}\right) \right] \right. ); Usando(5,6) |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( 2 |f(x) - L |\lt L - L^\prime ) \wedge ( 2|f(x) - L^\prime |\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2 (f(x) - L )\lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2(f(x) - L^\prime )\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L \lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L^\prime \lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) \wedge ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) \wedge ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) ]) | |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \bot ; De(1,2,6,7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\gt L^\prime\}\vdash \bot ; Mesmo procedimento que (8) |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [(L\lt L^\prime) \vee (L\gt L^\prime)] \rightarrow \bot ; \vee-int(8,9) |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [L\ \neq L^\prime] \rightarrow \bot ; Def(10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \bot ; MP(3,11) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\right\} \vdash \bot | |
| (13) | \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash \neg(L\neq L^\prime) ; Contradição(12) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash L = L^\prime. |
Dessa demonstração, temos que, se existem dois limites, então são iguais e, portanto, o limite é único.
Álgebra de Limites
Com o que vimos até agora, revisamos o essencial sobre a ideia matemática de limite. Mas só com isso não é suficiente para poder fazer cálculos com ele, nem de longe; apenas um louco sedento por sofrimento usaria a definição de limite com esse propósito. Para resolver esse problema, agora trabalharemos as técnicas que nos ajudarão a começar a calcular alguns limites.
Sejam x_0, \alpha, \beta, L, M \in \mathbb{R}, e sejam f e g funções reais tais que:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) = M
Então, cumprem-se as seguintes propriedades:
Limite da soma e da diferença de funções
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha L \pm \beta M
Demonstração:
Consideremos o conjunto de premissas \displaystyle\mathcal{H}=\left\{\lim_{x\to x_0} f(x) = L, \lim_{x\to x_0} g(x) = M \right\}, então a partir disso podemos fazer o seguinte raciocínio:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Presunção |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha||f(x) - L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon}:= |\alpha|\epsilon ; Def. |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt \overline{\epsilon} \right) ; De(1,2) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\alpha f(x) = \alpha L | |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}g(x) = M ; Presunção |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\beta g(x) = \beta M ; Análogo a (3) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right) | |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow \left[|\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right] \right) ; de(3,5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \leq |\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M| ; Desigualdade Triangular: (\forall x,y\in\mathbb{R})(|x+y|\leq |x|+|y|) |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right) ; de(6,7) |
| (9) | \epsilon^* := \overline{\epsilon} + \overline{\overline{\epsilon}}; Definição |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon^* \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha L - \beta M| \lt \epsilon^* \right) ; de(8,9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \beta g(x)) = \alpha L + \beta M | |
| (11) | \gamma:= - \beta; Definição |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \gamma g(x)) = \alpha L + \gamma M ; Analogía(10) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) - \beta g(x)) = \alpha L - \beta M ; de(11,12) |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) \pm \beta g(x)) = \alpha L \pm \beta M ; de(10,13) |
Limite do produto de funções
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left( f(x) g(x) \right) = L M
Esta demonstração é um pouco mais difícil que a anterior, mas não é nada que não possamos resolver com alguns truques draconianos. Usando o mesmo conjunto de premissas \mathcal{H} que a demonstração anterior, podemos construir o seguinte raciocínio:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon} := \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2} ; Definição |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} f(x) = L ; presunção |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} = \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right) ; Usando (1) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\overline{\epsilon}} := \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2}; Definição |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} g(x) = M ; Presunção |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} = \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)}\right) ; Usando (3) | |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)| - |L| \lt |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} \lt 1 ; Desigualdade Triangular + Caso especial de \overline{\epsilon} |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)|\lt 1 + |L| ; De(5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| - |M| \lt |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} \lt 1 ; Desigualdade Triangular + Caso especial de \overline{\overline{\epsilon}} |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| \lt 1 + |M| ; De(7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)g(x) - Mf(x) + Mf(x) - LM |; Somar zero |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)(g(x) - M) + M (f(x) - L) |; Factorizar | |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq | f(x)(g(x) - M)| + | M (f(x) - L) |; Desigualdade Triangular(9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq |f(x)||g(x) - M| + |M| |f(x) - L| | |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\lt (1 + |L|)|g(x) - M|+ |M|\overline{\epsilon}; De(5,6,10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\overline{\overline{\epsilon}} + |M|\overline{\epsilon}\right]; De(11) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} + |M|\frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right]; De(1,3,12) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt \frac{|\epsilon|}{2} + \frac{|\epsilon||M|}{2(|M|+1)} \lt \frac{|\epsilon|}{2}+ \frac{|\epsilon|}{2} = |\epsilon| \right] | |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \right]; De(11,13) |
| (15) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash (\forall \epsilon \gt 0 ) (\exists \delta \gt 0 ) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \leq \epsilon \right) ; De(1,2,4,14) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) = LM. |
Limite da função constante
O limite da função constante f(x)=c, é a constante c. Ou seja
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c
Demonstração
A demonstração disso é, na verdade, simples, porque se trata de uma tautologia. Já se sabe que:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |c-c|\lt \epsilon)
Mas acontece que 0=|c-c|\lt \epsilon é uma tautologia para todo épsilon positivo, de modo que a implicação também é uma tautologia e, consequentemente, a expressão \displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c também é uma tautologia.
Limite do quociente entre funções
Agora estamos em condições de demonstrar a regra para o limite do quociente entre duas funções. Esta é
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L}{M}
Onde, assim como nas propriedades anteriores, assumimos que se cumpre o conjunto de premissas
\displaystyle \mathcal{H}=\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}g(x) = M\}
Demonstração
Felizmente, não precisaremos fazer mais demonstrações como as anteriores, pois agora podemos usar diretamente esses resultados para alcançar nossos objetivos. Mas antes disso, primeiro provemos que
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Para provar isso, basta usar a regra do limite de um produto e o limite de uma função constante de forma combinada, apenas devemos ter cuidado que g(x) não seja zero:
\displaystyle 1 = \lim_{x\to x_0}\left( 1 \right) \lim_{x\to x_0}\left( g(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = \lim_{x\to x_0}g(x) \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = M \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)}
Portanto: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Finalmente, pela regra do limite do produto, temos:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} f(x) \frac{1}{g(x)}= L \cdot\frac{1}{M} = \frac{L}{M}
Isso será válido sempre que M não for zero.
Limite de uma potência natural
Esta propriedade nos diz que, se \displaystyle \lim_{x_0 \to x_0}f(x) = L, então se cumprirá que \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right). Podemos provar isso por indução matemática.
Demonstração:
- Caso n=1: (passo inicial)
\displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^1 = \lim_{x\to x_0} f(x) = L. Isso conclui o passo inicial ✅
- Caso n=k: (passo indutivo)
Supondo que se cumpre: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^k = L^k (Hipótese de Indução), vamos revisar que, portanto, se cumpre \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L^{k+1} .
Temos que: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = \lim_{x\to x_0} \{f(x) [f(x)]^k\} = \lim_{x\to x_0}f(x) \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k}. Isso último pela regra do limite do produto demonstrada acima.
Então, pela hipótese de indução, teremos \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L\cdot L^k = L^{k+1}. Isso conclui o passo indutivo ✅
- Portanto: \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right).
Limite de uma raiz n-ésima
De forma análoga à potência, se cumprirá que \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \right)
Demonstração:
Usando a regra da potência que acabamos de provar, temos que
\displaystyle L= \lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} \left[\sqrt[n]{f(x)}\right]^n = \left[ \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)}\right]^n
Portanto: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} =\sqrt[n]{L}.
Limite de potências fracionárias
Com os poderes reunidos das duas últimas demonstrações podemos concluir com nossa última demonstração, que é: \displaystyle \left(\forall p,q\neq 0 \in \mathbb{Z}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left[f(x)\right]^{\frac{p}{q}} = L^{\frac{p}{q}} \right). , que se obtém graças à regra do produto porque \displaystyle [f(x)]^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{f(x)}]^p e \displaystyle L^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{L}]^p.
Limite \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0
Com esta demonstração, encerramos esta onda de demonstrações, com esta e as anteriores, poderemos daqui para frente calcular grande quantidade de limites de modo quase intuitivo.
É simples provar que \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0, porque para que isso se cumpra, é necessário que
(\forall \epsilon \gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt |x-x_0|\lt \delta\rightarrow |x-x_0|\lt \epsilon)
Segundo a definição de Limite, para todos os épsilons deve existir pelo menos um delta para que se cumpra todo o restante; de modo que basta encontrar um para verificar que, de fato, o limite é o que se diz ser. Mas isso, na verdade, é algo óbvio, porque basta notar que qualquer \delta\leq\epsilonsatisfaz tal condição. Portanto: \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0.
Cálculo de limites simples
Graças a todos esses teoremas que acabamos de revisar, podemos calcular uma grande variedade de limites de forma bastante intuitiva, como se simplesmente avaliássemos a função. Aqui estão alguns exemplos:
- {}\\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2 + 4x) & = \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2) + \lim_{x\to 2}(4x) \\ \\ & = \displaystyle \left(\lim_{x\to 2} x \right)^2 + 4\lim_{x\to 2} x \\ \\ & = (2)^2 + 8 = 12 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1}\left.\frac{(3x-1)^2}{(x+1)^3} \right. & = \displaystyle \frac{(3(1)-1)^2}{((1)+1)^3} \\ \\ & = \displaystyle \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{x^2 - 4} &= \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{x+2} = \dfrac{1}{4} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} &= \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 -x^3}{h} \\ \\ & = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{3x^3 h + 3xh^2}{h} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{h\to 0} 3x^2 + 3xh = 3x^2 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } &=\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x^2 + 3) - 4 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{x^2 -1 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x-1)(x+1) } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{ x+1 } \\ \\ & =\displaystyle \frac{2+2}{2} =2 \end{array}