Introdução

Aprender a fatorar o polinômio quadrático é o primeiro passo para começar a estudar muitas outras técnicas de fatoração. Por isso, revisaremos profundamente esta técnica e expandiremos seu uso tanto quanto possível. Ao terminar, você terá aprendido não só a fatorar o polinômio quadrático (de grau 2), mas também usará essas mesmas técnicas para fatorar qualquer polinômio (2n)-quadrático.

Polinômio Quadrático e Polinômio (2n)-quadrático

Um polinômio quadrático é o polinômio de grau dois. A partir disso, temos que um polinômio quadrático é qualquer função da forma

P(x) = ax^{2}+bx +c

com a,b,c\in\mathbb{R} e a\neq 0. Nosso estudo, no entanto, não se concentrará apenas em fatorar os polinômios dessa forma, mas apontaremos para uma forma generalizada da qual o quadrático é apenas um caso particular. Estamos falando do polinômio (2n)-quadrático. Esta generalização engloba todos os polinômios que podem ser escritos na forma

P(x) = ax^{2n}+bx^n +c

onde, além de assumir a,b,c\in\mathbb{R} e a\neq 0, é tomado um n\in\mathbb{N} qualquer. Exemplos deste tipo de polinômio seriam:

• P(x) = 3x^2 -x + 1
• Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
• R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
• S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9

e assim por diante.

Fatoração do polinômio quadrático

Como já vimos, um polinômio de grau 2 tem a forma geral

P(x) = ax^{2}+bx +c \;\; , \;\; a\neq 0

A fatoração é o processo que separa um polinômio complexo no produto de dois polinômios mais simples. Por isso, se for possível fatorar, então existem constantes \alpha,\beta,\gamma,\delta \in\mathbb{R}, com \alpha, \gamma \neq 0, tais que:

Como temos uma igualdade entre o lado esquerdo e o direito, então teremos que, quando um lado for nulo, o outro também será anulado. Acontece que o lado direito é anulado quando x=-\beta/\alpha ou quando x=-\delta/\gamma. Vamos agora ver para quais valores o lado esquerdo desta igualdade é anulado. Teremos que

A partir desse raciocínio, teremos que as constantes em letras gregas da fatoração devem satisfazer (sem perda de generalidade) as seguintes condições:

• \alpha\gamma = a
• \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = - \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
• \displaystyle \frac{\delta}{\gamma} = - \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)

E com isso já temos uma técnica que nos permitirá fatorar qualquer polinômio de grau 2, e se não for possível fatorar, então será avisado através do número dentro da raiz: se esse número for negativo, então não será possível fatorar (com números reais). Tudo isso podemos simplificar introduzindo a convenção de notação:

• x_1 =\displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
• x_2 =\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}

Que por sua vez se resume na velha e confiável

\color{blue}{x_{1,2} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}} ✅

De modo que a fatoração finalmente ficará na forma

\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}✅

Expansão para a fatoração do polinômio bi-quadrático

Esta técnica também pode ser usada para fatorar o polinômio bi-quadrático da seguinte forma:

Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c =a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2)

Onde x^2_{1,2} = \displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. Assim, você pode escrever

Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\left(x^2 - \displaystyle \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right) \left(x^2- \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right)

Neste ponto, você deve ter cuidado, pois o que vem a seguir tem suas restrições. Se x_1^2 não for um número positivo, então você poderá usar soma por diferença para separar (x^2 - x_1^2) = (x-x_1)(x + x_1); caso contrário, você encontrará números complexos e, portanto, não poderá continuar a fatorar em números reais. Se as raízes estiverem bem definidas, você poderá escrever:

\begin{array}{rl} Q(x) &= ax^4 + bx^2 + c \\ \\ & = a \left(x -\displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x + \displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \\ \\ & \left(x- \displaystyle \sqrt{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x+ \sqrt{\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \end{array}

Caso contrário, você parará no passo anterior.

Generalização para a fatoração do polinômio (2n)-quadrático

Com isso já se entende para onde o método aponta, para fatorar o polinômio (2n)-quadrático basta reformular a forma como é escrito e usar os métodos anteriores onde as raízes estiverem bem definidas. Desta forma, teremos que:

R(x) = a(x^n)^{2}+b (x^n) +c = a(x^n-x_1^n)(x^n-x_2^n)

Onde x^n_{1,2} =\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. Em seguida, com isso, separamos com soma por diferença onde não aparecerem números complexos.

Exercícios de exemplo:

Agora é a sua vez de testar essas técnicas com alguns exercícios. Os polinômios listados a seguir foram escolhidos completamente ao acaso, de modo que serão muito úteis para reconhecer as possíveis dificuldades que podem surgir ao fatorar essas expressões.

Primeiro Round

Esses polinômios são os exemplos que coloquei no início deste post:

1. P(x) = 3x^2 -x + 1
2. Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
3. R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
4. S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9

Segundo Round

E aqui estão alguns outros um pouco mais difíceis.

1. P(x) = 78x^2 -21x - 13
2. Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14
3. R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16
4. S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10
5. T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15

Solução dos Exercícios