Quando revisamos o relativo aos espaços amostrais vimos que estes podem ser de duas espécies: discretos e contínuos. Também revisamos o que constitui uma distribuição de probabilidade discreta. Agora é a vez das distribuições contínuas de probabilidade.

O que são as distribuições contínuas de probabilidade?

Diremos que uma variável aleatória X tem uma distribuição contínua de probabilidade se existir uma função f_X : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+, que chamaremos Densidade de X, tal que \forall A \subseteq \mathbb{R} valha a igualdade

P(X\in A) = \displaystyle \int_A f_X(x)dx

Em particular, se tomarmos A=]a,b] teremos

P(a\lt X \leq b) = \displaystyle \int_a^b f_X(x)dx

e se a=-\infty

F_X(x) = P( X \leq x) = \displaystyle \int_{-\infty}^x f_X(t)dt

E além disso, a partir da propriedade (c) das distribuições de probabilidade teremos que

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)dt = 1

Aplicando o teorema fundamental do cálculo sobre esta última expressão, temos que para uma distribuição contínua, F_X(x), é contínua para todos os x, e sua derivada é f_X(x) para todos os valores x onde f_X(x) seja contínua. Da continuidade de F_X(x) e da propriedade (d) (ver aqui) deduz-se que:

P(x=X)=0

E portanto

P(x\leq X)= P(x\lt X)

Se f é qualquer função que cumpre com f\geq 0 e com \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1, então se diz que é uma densidade.

As 5 distribuições contínuas de probabilidade mais conhecidas

Distribuição Exponencial

Uma função de distribuição exponencial com parâmetro \alpha \gt 0 é uma função de distribuição F da forma.

F(t) = \left\{\begin{array}{lll} 1 - e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

Em consequência, sua função de densidade é da forma

\displaystyle f(t) = \left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{\alpha}e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

Se uma variável aleatória tem distribuição exponencial com parâmetro \alpha escrevemos X\sim Ex(\alpha).

No contexto da distribuição de Poisson, se temos uma amostra radioativa que emite uma partícula com uma taxa média de emissão c, então o instante de tempo T em que emite a primeira partícula tem distribuição exponencial com parâmetro 1/c. Em outras palavras T\sim Ex(1/c), e em consequência:

P(T\geq t)= e^{-ct}

Distribuição Uniforme Retangular

Uma distribuição uniforme retangular sobre um intervalo [a,b] é aquela que é definida pela função de densidade

f(x) = \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle\frac{1}{b-a} & ; & x\in[a,b] \\ \\ 0 & ; & E.O.C. \end{array}\right.

Se soltarmos uma pequena bola em um trilho com limites nas extremidades do intervalo [a,b], e esta rebater elasticamente ao chocar com as bordas, então a variável aleatória X associada à posição de parada da bola por efeito do atrito tem distribuição uniforme retangular e se escreve X\sim Un(a,b).

Distribuição Normal (Gaussiana)

Entre as distribuições contínuas de probabilidade, a distribuição normal é uma das mais populares na prática.

Distribuição normal padrão

Define-se a densidade normal padrão através da função

\displaystyle \phi_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}

Por sua definição, é claro que \phi\gt 0. Portanto, pode-se verificar que isso é uma densidade de probabilidade simplesmente corroborando que

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx

Esta última igualdade pode ser demonstrada calculando o valor de I^2 quando I =\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x)dx=1. De fato, tem-se que:

\begin{array}{rl} I^2 & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}dx \\ \\ & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2} dy \\ \\ & = \displaystyle \frac{1}{{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy \\ \\ \end{array}

Mas acontece que

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2/2} rdr d\theta = 2\pi

Portanto I^2 = 1, de modo que I=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx = 1.

A partir da densidade normal padrão define-se a distribuição normal padrão \Phi_{0,1}(x) = \int_{-\infty}^x\phi_{0,1}(t)dt. Se uma variável aleatória X tem distribuição normal padrão, então se escreve X\sim N(0,1). A distribuição \Phi_{0,1}(x) não pode ser calculada de forma explícita, no entanto, existem tabelas que permitem obter rapidamente valores aproximados.

Distribuição normal com parâmetros \mu e \sigma

A partir da densidade da distribuição normal padrão \phi_{0,1} é possível construir a densidade para a distribuição normal com parâmetros \mu e \sigma, onde \mu\in\mathbb{R} e \sigma\gt 0 são, respectivamente, a média e o desvio padrão. A densidade da distribuição normal com esses parâmetros fica escrita da seguinte maneira:

\displaystyle\phi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)

De modo que a distribuição normal com parâmetros \mu e \sigma, \Phi_{\mu,\sigma}(x), fica da forma

\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{t-\mu}{\sigma} \right)dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt

Se a variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros \mu, \sigma, então se escreve X\sim N(\mu, \sigma).

Distribuição Weibull

A distribuição Weibull com parâmetros \alpha,\beta \gt 0 tem uma função de distribuição da forma

F(t) = \left\{\begin{array}{llr} \left(1 - e^{-t/\alpha} \right)^\beta &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

Se uma variável aleatória X tem distribuição Weibull com parâmetros \alpha, \beta se escreve X\sim We(\alpha,\beta). A distribuição Weibull é uma generalização para a distribuição exponencial, note que We(\alpha,1) = Ex(\alpha).

Distribuição Gamma

A distribuição Gamma com parâmetros \beta,\alpha tem uma função de densidade da forma

f(t) = \left\{\begin{array}{llr} \displaystyle \frac{1}{\alpha \Gamma(\beta)}\left(\frac{t}{\alpha} \right)^{\beta-1}e^{-t/\alpha} &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

Onde \Gamma(s) = \displaystyle \int_0^{+\infty}u^{s-1}e^{-u}du é o que se conhece como “Função Gamma”.

Uma das propriedades mais notáveis da função Gamma é que permite generalizar os fatoriais dos números naturais sobre os reais (e até os complexos). Não é complicado verificar que \Gamma(s+1) = s\Gamma(s) integrando por partes. Além disso, como \Gamma(1)=1 resulta que

\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(\Gamma(n) = (n-1)! \right)

Se uma variável aleatória X tem distribuição Gamma com parâmetros \beta, \alpha se escreve X\sim Ga(\alpha,\beta). A distribuição Gamma é outra generalização para a distribuição exponencial, note que Ga(\alpha,1) = Ex(\alpha).

Em um processo de Poisson com frequência c (como um decaimento radioativo), se T é a variável aleatória que representa o instante em que se produz o m-ésimo evento; então, dado um t\geq 0 e um número N de eventos que ocorrem no intervalo de tempo [0,t] teremos que t\lt T \leftrightarrow N\lt m e, como N\sim Po(ct), tem-se:

1-F_T(t) = P(T\gt t) = \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1}Po(k; ct)=e^{-ct}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(ct)^k}{k!}

E portanto, se derivarmos isso descobriremos que a função de densidade é

\displaystyle f(t) = ce^{-ct}\frac{(ct)^{m-1}}{(m-1)!}

E portanto, T\sim Ga(1/c, m).

Exercícios

1. Encontrar a constante c tal que \displaystyle f(x) = \frac{c}{x^2+1} é uma densidade de probabilidade e calcular a correspondente função de distribuição de probabilidade (distribuição de Cauchy)
2. A partir da função de densidade da distribuição Un(a.b), determinar sua correspondente função de distribuição.
3. Demonstrar que a função \Phi_{\mu,\sigma}(x) é uma função de distribuição de probabilidade.