O Cálculo Variacional na Mecânica Clássica e a Equação de Euler-Lagrange

Resumo:
Nesta aula, revisaremos a obtenção da equação de Euler-Lagrange da Mecânica Analítica através da utilização das técnicas do cálculo variacional e, a partir disso, será mostrada em detalhe a sua aplicação na solução do problema da Braquistócrona.

Objetivos de Aprendizagem:
Ao concluir esta aula, o estudante será capaz de:

1. Compreender o princípio de Hamilton da ação mínima
2. Demonstrar a equação de Euler-Lagrange
3. Resolver o problema da Braquistócrona usando a equação de Euler-Lagrange.

ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
POR QUE O CÁLCULO VARIACIONAL NA MECÂNICA CLÁSSICA
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA VARIACIONAL
A EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE
O PROBLEMA DA BRAQUISTÓCRONA
REPOSITÓRIO DO GITHUB COM ALGORITMO DO WOLFRAM

Por que o cálculo variacional na mecânica clássica

A física newtoniana apresenta numerosos problemas que podem ser abordados de forma mais eficaz utilizando o cálculo variacional. Esta abordagem é fundamental nas equações de Lagrange e no princípio da ação mínima de Hamilton. Em essência, este método consiste em encontrar as trajetórias que maximizam ou minimizam uma certa quantidade. Por exemplo, pode-se buscar a trajetória entre dois pontos que minimize a distância percorrida ou o tempo de viagem. Um exemplo desta abordagem é o princípio de Fermat, que estabelece que a luz segue sempre a trajetória que minimiza o tempo de percurso, o que, por sua vez, leva à lei de Snell da refração da luz.

O cálculo variacional tem múltiplas vantagens na mecânica clássica. Por exemplo, permite obter soluções analíticas exatas para sistemas com simetria, e soluções aproximadas através da teoria das perturbações variacionais para sistemas mais complexos. Além disso, em situações onde é difícil expressar as forças em termos de equações diferenciais, o princípio da ação mínima proporciona um método mais eficiente para resolver problemas em mecânica clássica. Em resumo, o cálculo variacional é uma ferramenta fundamental que oferece uma formulação alternativa das leis de Newton, uma unificação das leis da física, maior eficiência na resolução de problemas e maior precisão na previsão de resultados experimentais.

Formulação do problema variacional

O cálculo variacional centra-se em encontrar a função y(x) que extremiza o valor do funcional:

J(x,y(x))=\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(x),\frac{dy(x)}{dx}\right)dx,

com o objetivo de encontrar o seu valor máximo ou mínimo. Nesta equação, o funcional J depende da função y(x) e da sua derivada dy(x)/dx, enquanto os limites de integração permanecem fixos. Para extremar a integral, aplicam-se variações sobre a função y(x), buscando obter a função que faz com que o valor do funcional seja um extremo. Por exemplo, se se consegue que a integral alcance o seu valor mínimo, qualquer função dentro da sua vizinhança, independentemente de quão próxima esteja de y(x), aumentará o valor do funcional.

Para estabelecer o conceito de função vizinha, podemos atribuir uma representação paramétrica y=(\alpha,x) a todas as possíveis funções y, de forma que se \alpha=0, então y(0,x)=y(x) é a função que extremiza J. Isto pode ser expresso da seguinte forma:

y(\alpha, x) = y(x) + \alpha \eta(x),

onde \eta(x) é alguma função de classe \mathcal{C}^1 que se anula em x_1 e x_2, de modo que a função y(\alpha,x) que inclui esta variação é idêntica a y(x) nos pontos iniciais e finais da trajetória de integração.

Ao substituir a função y(\alpha,x) que inclui a variação \eta(x) em vez de y(x) na integral que define o funcional J, obtém-se um novo funcional que depende do parâmetro \alpha:

J(x,y(\alpha, x)) = \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(\alpha,x), \dfrac{d}{dx}y(\alpha,x)\right)dx

Para que existam extremos locais, é necessário que se cumpra a condição:

\left.\dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0} = 0

para qualquer função \eta(x).

A Equação de Euler-Lagrange

Ao analisar a derivada \partial J(x,y(\alpha,x))/\partial \alpha, obtém-se:

\begin{array}{rll} {}\dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=&\dfrac{\partial}{\partial \alpha} \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(\alpha,x),\dfrac{dy(\alpha, x)}{dx}\right)dx \\ \\ &=&\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial \alpha} + \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)}\dfrac{\partial y(\alpha, x)}{\partial \alpha} + \dfrac{\partial f }{ \partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}}{\partial \alpha}\right)dx \\ \end{array}

A partir deste ponto, é importante notar que:

\begin{array}{rll} \dfrac{\partial x}{\partial \alpha} &=& 0 \\ \\ \dfrac{\partial y(\alpha,x)}{\partial \alpha} &=& \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \left(y(x) + \alpha \eta(x) \right) = \eta(x) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \alpha}\left( \dfrac{dy(\alpha, x)}{dx} \right)&=& \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \left(\dfrac{dy(x)}{dx} + \alpha\dfrac{d\eta(x)}{dx} \right) = \dfrac{d\eta}{dx} \end{array}

Portanto, a expressão se reduz como mostrado a seguir:

\begin{array} {} \dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha,x)}\eta(x) + \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta(x)}{dx} \right)dx \\ \\ &=&\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha,x)}\eta(x) dx + \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta(x)}{dx} dx \end{array}

Em seguida, se observarmos a segunda integral, veremos que ela pode ser simplificada utilizando a integração por partes:

\begin{array}{rll} \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta}{dx} dx &=& \left. \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \eta(x)\right|_{x_1}^{x_2} - \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha, x)}{dx}} \right) dx\\ \\ &=& - \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha, x)}{dx}} \right)dx \end{array}

E, portanto,

\begin{array}{rll} {} \dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left[ \eta(x) \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)} - \eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \right) \right]dx \\ \\ &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \right) \right] \eta(x) dx \end{array}

Assim, pela condição de que \left.\dfrac{\partial J (x,y(\alpha, x))}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0} = 0, e como \eta(x) é uma função qualquer sujeita à única condição de anular-se em x_1 e x_2, tem-se:

\dfrac{\partial f}{\partial y(0, x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(0,x)}{dx}}\right) = \dfrac{\partial f}{\partial y(x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(x)}{dx}}\right) = 0.

Finalmente, “simplificando a notação” nesta última expressão, chega-se ao que é conhecido como a Equação de Euler-Lagrange:

\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y}= \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y^\prime} \right)},

e isso representa de uma forma muito mais simples a condição necessária para que o funcional J alcance um valor extremo.

O Problema da Braquistócrona

Formulação do Problema

O problema da braquistócrona é um clássico da física mecânica que é resolvido através do cálculo variacional. A situação proposta é a seguinte: Suponhamos que temos um objeto material que se move sob o efeito de um campo de forças constante e que se desloca desde um ponto inicial (x_1,y_1) até outro ponto final (x_2,y_2), onde o ponto inicial está a uma maior altura que o ponto final. A pergunta que se coloca é: Qual é a trajetória que a partícula deve seguir para chegar ao ponto final no menor tempo possível?

Formulação da Solução

Para resolver o problema da braquistócrona, é útil considerar a situação de forma simples. Portanto, pode-se fixar o ponto de partida (x_1, y_1) na origem das coordenadas, enquanto o ponto de chegada (x_2,y_2) encontra-se à direita da origem e abaixo do eixo \hat{x}.

Nesta situação, pode-se considerar um campo de força que atua para baixo (na direção -\hat{y}) gerado pela gravidade, e supor que o movimento ocorre sem atrito. Neste contexto, restringe-se a partícula a seguir diferentes trajetórias que conectam os pontos de partida e chegada com o objetivo de encontrar qual delas minimiza o tempo de viagem.

Examinando a Energia

Para resolver este problema, podemos aproveitar a conservação de energia do sistema gravitacional. A energia total do sistema permanecerá constante, considerando tanto a energia cinética E_{cin}=\frac{1}{2}mv^2 como a energia potencial gravitacional E_{pot,g}, onde m é a massa da partícula e v é a sua velocidade. Para a energia potencial, tomou-se como referência a origem, de modo que E_{pot,g}(y=0)=0, enquanto que em qualquer outra altura y tem-se que E_{pot,g}(y)=mgy.

Como a partícula parte da origem com velocidade zero, sua energia total é igual a zero. Então, temos:

E_{cin} + E_{pot,g}=0

Como a partícula cai abaixo do ponto de referência, sua energia potencial será negativa e sua energia cinética será positiva. Desta forma, podemos encontrar a velocidade v a partir da equação de conservação de energia e obter:

\begin{array}{rl} {} &\dfrac{1}{2}mv^2 + (-mgy) = 0 \\ \\ \vdash &\dfrac{1}{2}mv^2 = mgy \\ \\ \vdash &v^2 = 2gy \\ \\ \vdash &v = \sqrt{2gy} \end{array}

Dessa forma, podemos calcular a velocidade da partícula em qualquer ponto de sua trajetória em função da altura y em que se encontra.

Examinando o Tempo de Trajeto

Uma vez que obtivemos a rapidez do movimento, podemos construir o elemento de tempo de percurso utilizando o elemento de deslocamento ds=\sqrt{dx^2 + dy^2} da seguinte maneira:

\begin{array}{rl} {} dt &= \dfrac{ds}{v} = \dfrac{\sqrt{dx^2 + dy^2}}{\sqrt{2gy}}\\ \\ &= \sqrt{\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy} } \end{array}

De modo que o tempo de deslocamento entre os pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) pode ser obtido integrando

\begin{array}{rl} {} t &= \displaystyle \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} dt \\ \\ &= \displaystyle \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} \sqrt{\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy}} \\ \\ &= \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2g}}\int_{y_1}^{y_2} \sqrt{\dfrac{1+ \left(\dfrac{dx}{dy}\right)^2 }{y}}dy \\ \\ \end{array}

Formulação do Problema Variacional

Com esta última expressão, conseguimos expressar o tempo como um funcional da forma

{}t = J(y,x(y)) = \displaystyle \int_{y_1}^{y_2} f\left(y,x(y),\dfrac{dx(y)}{dy} \right) dy

onde

f\left(y,x(y), \dfrac{dx(y)}{dx}\right) = \sqrt{\dfrac{1+ \left(\dfrac{dx(y)}{dy} \right)^2}{y}}

Neste ponto, podemos ignorar o fator \sqrt{2g}, porque otimizar J é exatamente o mesmo que otimizar \sqrt{2g}J.

Com isso, podemos agora construir a equação de Euler-Lagrange seguindo o mesmo procedimento utilizado anteriormente, chegando finalmente a:

\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{d}{dy} \dfrac{\partial f}{\partial x^\prime}

No entanto, aqui podemos ver que \dfrac{\partial f}{\partial x} = 0, de modo que se terá que

\dfrac{d}{dy}\dfrac{\partial f}{\partial x^\prime} = 0,

ou em outras palavras

\dfrac{\partial f}{\partial x^\prime} = \dfrac{1}{\sqrt{2a}},

onde a é uma constante arbitrária escrita dessa forma porque é “conveniente” para desenvolvimentos posteriores.

Resolução do Problema Variacional

Ao substituir a função f nesta última expressão, temos:

\begin{array}{rl} {} &\dfrac{\partial }{\partial x^\prime} \sqrt{\dfrac{1+ x^{\prime 2}}{y}} = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1 + x^{\prime 2} }{y} \right)^{-1/2} \left(\dfrac{2x^\prime}{y} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{y}{1 + x^{\prime 2}}} \left(\dfrac{2x^\prime}{y} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \sqrt{\dfrac{4x^{\prime 2} y}{4y^2 (1 + x^{\prime 2})} } = \sqrt{\dfrac{1}{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{y x^{\prime 2} }{y^2 (1 + x^{\prime 2})} = \dfrac{1}{ 2a} \\ \\ \vdash & 2ayx^{\prime 2} = y^2 + y^2 x^{\prime 2} \\ \\ \vdash & x^{\prime 2} (2ay - y^2) = y^2 \\ \\ \vdash & \left(\dfrac{dx}{dy}\right)^2 = \dfrac{y^2}{2ay - y^2} \\ \\ \vdash & \dfrac{dx}{dy} = \pm \sqrt{\dfrac{y^2}{2ay - y^2}} \\ \\ \vdash & dx = \pm \dfrac{ydy}{\sqrt{2ay - y^2}} \\ \\ \vdash & x = \displaystyle \pm \int \dfrac{y}{\sqrt{2ay - y^2}}dy \end{array}

Para resolver esta integral, uma opção a considerar é realizar a seguinte substituição

\begin{array} {} y &=& a[1-\cos(\theta)] \\ dy &=& a\sin(\theta) d\theta \end{array}

Com isso temos:

\begin{array}{rl} {} x= & \pm \displaystyle \int \dfrac{y}{\sqrt{2ay - y^2}}dy = \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]a\sin(\theta)}{\sqrt{2a^2[1-\cos(\theta)] - a^2[1-\cos(\theta)]^2 }}d\theta \\ \\ & {} = \pm \displaystyle \int \dfrac{a^2[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{a^2[1-\cos(\theta)]\left\{ 2 - [1-\cos(\theta)] \right\} }}d\theta \\ \\ & {} = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{[1-\cos(\theta)] [1 + \cos(\theta)] }}d\theta \\ \\ & {} = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{ 1-\cos^2(\theta)}}d\theta \\ \\ & {} = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sin(\theta)}d\theta \\ \\ & {} = \pm \displaystyle \int a[1-\cos(\theta)] d\theta \\ \\ & {} = \pm a(\theta - \sin(\theta)) + C \end{array}

Podemos observar que a curva braquistócrona pode ser expressa como uma curva paramétrica em coordenadas polares, que coincide com um cicloide que tem seu ponto de partida na origem.

\begin{array} {} & x(\theta) &=& \pm a(\theta - \sin(\theta)) \\ & y(\theta) &=& a(1-\cos(\theta)) \end{array}

A constante de integração C foi anulada para satisfazer a condição inicial de que a trajetória começa na origem. Além disso, podemos observar que há um par de equações que fornecem soluções possíveis para o problema, onde a constante a pode ser ajustada para que a curva passe pelo ponto (x_2,y_2) no final do percurso. Essas equações são:

Opção 1:\boxed{\begin{array} {} & x(\theta) &=& a(\theta - \sin(\theta)) \\ & y(\theta) &=& a(1-\cos(\theta)) \end{array}}

Opção 2:\boxed{\begin{array} {} & x(\theta) &=& - a(\theta - \sin(\theta)) \\ & y(\theta) &=& a(1-\cos(\theta)) \end{array}}

A solução viável para este problema é dada pela segunda opção e, ajustando a constante a como um valor negativo, obtemos uma curva que atende às condições necessárias para ser a solução.

Ajuste Final da Solução

Após os últimos ajustes realizados, a curva braquistócrona tem a forma paramétrica:

\begin{array} {} x(\theta) &= b(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &= -b(1-\cos(\theta)) \end{array}

Substituiu-se a=-b, onde 0\lt b. A curva tem um período 2b\pi e deve cumprir a condição x_2 \in ]0,2b\pi[ e y_2 \in ]-2b,0[. Isto é crucial, porque exige que a curva braquistócrona seja representada como um único arco de cicloide, já que a solução deixará de ser válida se a partícula retornar ao repouso ao voltar a um ponto de altura zero.

Para ajustar essas equações ao problema, precisamos encontrar os valores de \theta e b que satisfaçam o sistema:

\begin{array} {} x_2 &= b(\theta - \sin(\theta))\\ y_2 &= - b(1-\cos(\theta)) \end{array}

Este sistema não linear não parece ter soluções analíticas, por isso utilizaremos métodos numéricos no Wolfram Mathematica. A seguir, apresentamos uma série de passos para resolver o problema:

Passo 1: Estabelecer o Sistema

Estabelecer as equações que formam o sistema a ser resolvido

eq1 = x2 == b*(theta - Sin[theta])
eq2 = y2 == -b*(1 - Cos[theta])

Passo 2: Definir o Ponto de Chegada

Estabelecer o ponto ao qual a partícula chegará ao final de seu percurso. Neste caso, vamos defini-lo em (x_2,y_2)=(1,-2). Você pode modificar esses valores para testar outras configurações semelhantes.

x2val = 1; y2val = -2;

Passo 3: Calcular Numericamente os Valores Procurados

Usar a função “FindRoot” para calcular numericamente a solução do problema

sol = FindRoot[{eq1, eq2} /. {x2 -> x2val, y2 -> y2val}, {{b,1}, {theta, 1}}]

Aqui foram usados os valores b=1 e \theta=1 como ponto de partida para a aproximação numérica da solução. Com isso, obtém-se como solução b\approx 2.4056 e \theta \approx 1.40138

Passo 4: Corroborar os Resultados

Lembremos que, para que essas respostas tenham sentido físico, é necessário que x_2 \in ]0,2b\pi[ e y_2 \in ]-2b, 0[. Podemos corroborar que isso ocorre rapidamente através do seguinte procedimento

Primeiro extraímos os valores de b e \theta obtidos como solução

bval = sol[[1, 2]]; thetaval = sol[[2, 2]];

E então ordenamos que seja feita a confirmação

If[0 < x2val < 2*Pi*bval && -2*bval < y2val < 0 "Valores válidos", "Valores inválidos"]

Se tudo correu bem, deveríamos obter "valores válidos" na saída. Este pedaço de código te ajudará a verificar se a situação física está corretamente modelada.

Com esses procedimentos, finalmente temos completamente ajustada nossa curva solução, que conecta os pontos (x_1,y_1)=(0,0) e (x_2,y_2)=(1,-2). A curva resultante é:

\begin{array} {} x(\theta) &\approx 2.4056(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &\approx -2.4056(1-\cos(\theta)) \end{array}\;\;;\theta\in [0, 1.40138]

Que graficamente se parece assim:

Repositório do GitHub com Algoritmo do Wolfram

O código completo da solução para o problema da braquistócrona, incluindo o algoritmo desenvolvido no Wolfram Mathematica, está disponível para download e consulta em meu repositório do GitHub. Este repositório inclui um arquivo `.nb` com o código em formato de notebook interativo, bem como uma versão em texto simples `.m` para aqueles que preferem ver o código diretamente.

Você pode baixar o repositório do GitHub aqui.

Além do código, o repositório contém um arquivo "README" com instruções detalhadas sobre como usar e entender o algoritmo, assim como uma explicação passo a passo da solução para o problema da braquistócrona. Espero que você ache útil!