A Fórmula de Stirling
A fórmula de Stirling é uma ferramenta essencial para simplificar cálculos com fatoriais de números grandes, oferecendo uma aproximação rápida e prática.
Este resultado é especialmente útil em áreas como termodinâmica, probabilidade e análise assintótica, onde trabalhar com números extremamente grandes é comum. Compreender seu desenvolvimento não apenas facilita sua aplicação, mas também permite apreciar sua relevância no cálculo eficiente e na resolução de problemas complexos.
Objetivos de Aprendizagem:
Ao finalizar esta aula, o aluno será capaz de:
- Compreender a dedução da fórmula de Stirling a partir da definição do fatorial através da função Gamma.
- Aplicar a fórmula de Stirling para aproximar fatoriais de números muito grandes.
- Calcular aproximações logarítmicas de fatoriais utilizando ferramentas básicas de logaritmos e expoentes.
ÍNDICE DE CONTEÚDO:
Demonstração da fórmula de Stirling
Aproximação logarítmica do fatorial
Exemplo: Aproximação do Fatorial de um Número Muito Grande
Demonstração da fórmula de Stirling
O desenvolvimento da fórmula de Stirling começa com a definição do fatorial através da função Gamma, que é:
n! =\Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty t^n e^{-t} \, dt
Utilizando essa expressão, fazemos uma mudança de variável: t = nx. Isso implica que x \in [0, \infty[ e dt = n dx. Com essa mudança, a integral se transforma da seguinte forma:
n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty (nx)^n e^{-nx} n \, dx = n^{n+1} \int_0^\infty x^n e^{-nx} dx
Em seguida, realizamos uma segunda mudança de variável: x = 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}}. Isso implica:
\begin{array}{rl} & s = (x-1)\sqrt{n}, \quad s \in [-\sqrt{n}, \infty[ \\ \\ & dx = \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \end{array}
Com essa mudança de variável, a integral assume a seguinte forma:
\begin{array}{rl} n! = \Gamma(n+1) &= \displaystyle n^{n+1} \int_{-\sqrt{n}}^\infty \left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^n e^{-n\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)} \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \\ \\ &= \displaystyle \dfrac{n^{n+1}}{\sqrt{n}} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)} e^{-n - s\sqrt{n}} ds \\ \\ &= \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n}} ds \end{array}
Agora utilizamos a expansão em séries de Taylor para o logaritmo natural:
\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}x^k}{k}
Aplicando essa expansão em \ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right), desenvolvemos a expressão exponencial da seguinte maneira:
\begin{array}{rl} n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n} & = \displaystyle n \left[\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^k}{k} \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = n \left[ \dfrac{s}{\sqrt{n}} - \dfrac{s^2}{2n} + \dfrac{s^3}{3n\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n^2} + \dfrac{s^5}{5n^2\sqrt{n}} \cdots \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = s\sqrt{n} - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots - s\sqrt{n} \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}} \end{array}
Dessa forma, podemos escrever a expressão completa como:
n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{- \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}}} ds
Esse resultado é fundamental para calcular fatoriais de números muito grandes. À medida que n cresce, os termos na soma dentro do expoente tendem a zero, deixando apenas o termo dominante. Isso simplifica a integral, que pode ser resolvida como uma integral Gaussiana:
n! = \Gamma(n+1) \approx \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\infty}^\infty e^{- \frac{s^2}{2}} ds = n^n e^{-n} \sqrt{n} \sqrt{2\pi}
Esse resultado é conhecido como a fórmula de Stirling para o fatorial de números grandes:
\boxed{n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}}
Aproximação Logarítmica do Fatorial
Um resultado direto da fórmula de Stirling é a aproximação logarítmica do fatorial. Ao tomar o logaritmo natural da fórmula de Stirling, obtemos:
\begin{array}{rcl} \ln(n!) \approx \ln\left( \sqrt{2n\pi}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n} \right) &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln\left(\dfrac{n}{e}\right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ &\approx & n\ln(n) - n \end{array}
No último passo, é feita uma aproximação adicional ao desprezar o termo \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi). Esse termo torna-se insignificante em comparação com n\ln(n) - n para valores grandes de n.
A validade dessa aproximação é justificada calculando o erro relativo entre as duas expressões:
\begin{array}{rcl} \text{Aproximação Inicial} & = & \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ \text{Aproximação Final} & = & n\ln(n) - n \\ \\ \text{Erro Relativo} &=& \dfrac{\text{Aproximação Final} - \text{Aproximação Inicial}}{\text{Aproximação Inicial}} \\ \\ &=& \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \end{array}
Agora, consideramos o limite quando n \to \infty:
\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \text{Erro Relativo} & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2n}}{\dfrac{1}{2n} + \ln(n) + 1 - 1} = 0 \end{array}
Assim, como o erro tende a zero para valores grandes de n, podemos usar a seguinte aproximação logarítmica com confiança:
\boxed{\ln(n!) \approx n\ln(n) - n}
Exemplo: Aproximação do Fatorial de um Número Muito Grande
Calcular o fatorial de números extremamente grandes, como 10.000!, é praticamente impossível com ferramentas convencionais devido ao tamanho do resultado. No entanto, usando a aproximação logarítmica do fatorial derivada da fórmula de Stirling, podemos torná-lo viável mesmo com calculadoras básicas.
A fórmula logarítmica do fatorial nos informa:
\ln(10.000!) \approx 10.000 \ln(10.000) - 10.000
Para converter de logaritmos naturais (\ln) para logaritmos de base 10 (\log), usamos a relação:
\ln(10.000!) = \dfrac{\log(10.000!)}{\log(e)}
Isso implica que:
\log(10.000!) \approx \log(e) \cdot (10.000 \ln(10.000) - 10.000)
Portanto:
10.000! \approx 10^{\log(e) \cdot (10.000 \ln(10.000) - 10.000)} \approx 10^{35.657,06}
Aqui, notamos que a expressão no expoente torna-se gerenciável para a maioria das calculadoras. Assim, embora não possamos visualizar o número devido ao seu tamanho imenso, sabemos que ele possui aproximadamente 35.657 dígitos. Essa abordagem transforma um cálculo aparentemente inatingível em algo factível.