二次および(2n)-二次多項式の因数分解
要約：
本講義では、二次多項式 P(x) = ax^2 + bx + c および (2n)-二次多項式 P(x) = ax^{2n} + bx^n + c の因数分解プロセスを詳細に検討し、それらを単純な因数へと分解する手順を学びます。数学的に手順を展開し、実用的な例も提示します。
学習目標
- 学ぶ： P(x) = ax^2 + bx + c の形をした二次多項式の因数分解方法を習得する。
- 導出する： 二次方程式の解の公式 x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} を導出し、それを用いて根を求める。
- 適用する： P(x) = ax^{2n} + bx^n + c の形をした (2n)-二次多項式に因数分解の技術を応用する。
- 認識する： 二次型多項式を因数分解するために必要な条件を理解する。
- 使用する： 因数分解の過程において平方完成法を利用する。
はじめに
二次多項式の因数分解を習得することは、他の多くの因数分解技術を学ぶ上での出発点となります。したがって、この技術を深く掘り下げ、その応用範囲を可能な限り広げていきます。講義の終わりには、2次（次数2）の多項式だけでなく、(2n)-二次多項式も同様の手法で因数分解できるようになります。
二次多項式および(2n)-二次多項式
二次多項式とは次数が2の多項式です。 この定義により、二次多項式とは次の形を持つ任意の関数を指します。
P(x) = ax^{2}+bx +c
ここで a,b,c\in\mathbb{R} かつ a\neq 0 とします。しかしながら、我々の研究の焦点はこの形の多項式の因数分解に限定されるものではありません。むしろ、二次多項式を特殊な場合とみなした一般化された形を扱います。これが (2n)-二次多項式と呼ばれるものです。この一般化により、以下の形で表されるすべての多項式を含むことができます：
P(x) = ax^{2n}+bx^n +c
ここでも a,b,c\in\mathbb{R} かつ a\neq 0 に加えて、任意の自然数 n\in\mathbb{N} をとります。この種の多項式の例を以下に示します：
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
このように、一般的な形で記述されることができます。
二次多項式の因数分解
すでに確認したように、次数2の多項式は次の一般形を持ちます：
P(x) = ax^{2}+bx +c \;\; , \;\; a\neq 0
因数分解とは、複雑な多項式をより単純な2つの多項式の積に分解する過程です。したがって、因数分解が可能な場合、実数 \alpha,\beta,\gamma,\delta \in\mathbb{R}（ただし \alpha, \gamma \neq 0）が存在して、次のように表せます：
| P(x) = ax^2 + bx + c | = (\alpha x + \beta)(\gamma x + \delta) |
| = \alpha \gamma \left(x +\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}\right)\left(x + \frac{\delta}{\gamma}\right) |
左辺と右辺が等しいということは、片方が0になると他方も必ず0になるということです。右辺は x=-\beta/\alpha または x=-\delta/\gamma のときに0になります。では、左辺が0になるのはどのような値のときでしょうか。次にそれを検討していきます。
| ax^2 + bx + c | = 0 |
| ax^2 + bx | = -c |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x | = - \displaystyle \frac{c}{a} |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} | =\displaystyle \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} = \frac{ab^2 - 4a^2 c}{4a^3} = \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| \left(x + \displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2 | = \displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| x + \displaystyle \frac{b}{2a} | = \pm \sqrt{\displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2}} = \frac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} |
| x | = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} ✅ |
この推論に基づき、因数分解に用いるギリシャ文字の定数は、一般性を失うことなく次の条件を満たす必要があります：
- \alpha\gamma = a
- \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = - \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
- \displaystyle \frac{\delta}{\gamma} = - \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
これにより、任意の2次多項式を因数分解するための技術が得られます。もし因数分解が不可能であれば、それは平方根の中の数値（判別式）によって示されます。その値が負の場合、実数の範囲では因数分解できません。この議論を簡潔にするため、以下のような記法を導入します：
- x_1 =\displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
- x_2 =\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
これらは以下のよく知られた公式にまとめられます：
\color{blue}{x_{1,2} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}} ✅
したがって、因数分解の結果は最終的に次のように表されます：
\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}✅
四次（二重）多項式への因数分解の拡張
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c =a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2)
ここで、 x^2_{1,2} = \displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} とします。これにより、次のように表現できます：
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\left(x^2 - \displaystyle \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right) \left(x^2- \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right)
ここで注意が必要です。以下のステップには制限があります。x_1^2 が正の実数である場合に限り、差積公式 (x^2 - x_1^2) = (x - x_1)(x + x_1) を適用できます。そうでない場合は複素数が現れ、実数の範囲で因数分解を続けることはできません。すべての根が定義できる場合、次のように因数分解できます：
\begin{array}{rl} Q(x) &= ax^4 + bx^2 + c \\ \\ & = a \left(x -\displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x + \displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \\ \\ & \left(x- \displaystyle \sqrt{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x+ \sqrt{\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \end{array}
そうでない場合は、前のステップで因数分解を止める必要があります。
(2n)-二次多項式への因数分解の一般化
この流れにより、(2n)-二次多項式を因数分解する方法の方向性が理解できたと思います。 あとは表記の仕方を再構成し、先ほどの手法を根が定義できる範囲で適用するだけです。したがって：
R(x) = a(x^n)^{2}+b (x^n) +c = a(x^n-x_1^n)(x^n-x_2^n)
ここで x^n_{1,2} =\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} とし、複素数が出現しない場合には差積公式を用いてさらに分解します。
例題演習：
ここからは、あなた自身がこれらの手法を用いて演習に取り組む番です。以下に示す多項式は完全にランダムに選ばれたものであり、因数分解の際に遭遇する可能性のあるさまざまな困難を把握するのに非常に適しています。
第1ラウンド
これらの多項式は、この講義の冒頭で例として挙げたものです。
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
第2ラウンド
こちらはやや難易度の高い演習問題です。
- P(x) = 78x^2 -21x - 13
- Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14
- R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16
- S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10
- T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15