クーロンの法則と静電力
「クーロンの法則と静電力」は、電気的な力に対する理解を広げただけでなく、予期せぬ逸話も生み出しました。ベンジャミン・フランクリンは、電気で七面鳥を気絶させ調理しようとした実験で、自らが被験者となってしまいました。放電により彼は茫然自失となり、髪が逆立ち、まるで電場の線を生きた形で示すかのようでした。さて、今度は私たちが電気的な力を学ぶ番です。
学習目標:
この授業の終了時に学生は以下のことができるようになります。
- モデル化する―試験電荷に働く合力を計算するために重ね合わせの原理を用いて電気的現象を記述する。
- 単純化する―電気的な力の研究を静電的な場合に限定する。
- 適用する―クーロンの法則を用いて、さまざまな状況における二つの電荷間の力を決定する。
- 分析する―クーロンの法則を簡略化した定式化を通じて、電荷源に中心を置いた系を考察する。
- 解決する―電荷分布に関連する実践的な問題を扱う。
目次:
重ね合わせの原理
静電的単純化
クーロンの法則
電荷源に中心を置いた系に対するクーロンの法則
演習
ここからはこれらの現象を数学的にモデル化し始めます。そのためにクーロンの法則を導入します。しかしその前に、いくつかの点を説明する必要があります。それは、重ね合わせの原理と静電的単純化です。
重ね合わせの原理
電気力学における基本的な問題は、電荷の「雲」 q_1, q_2, \cdots が試験電荷 q_0, に及ぼす力を決定することにあります。このとき、それぞれの電荷の位置は時間の既知の関数です。一般的に、電荷源も試験電荷も相対的に運動しています。
この問題の解決は、重ね合わせの原理によって容易になります。この原理は、試験電荷とある電荷源との相互作用は、他の電荷源との相互作用とは完全に独立していると教えています。つまり、電荷 q_1, による力 \vec{F}_1、電荷 q_2 による力 \vec{F}_2 をそれぞれ求め、同様に続けて最終的に全体の力を和として得ることができるということです。
\vec{F}_{tot} = \displaystyle \sum_{i}\vec{F}_i
静電的単純化
もし単に力を加算するだけならば、各電荷源が試験電荷に及ぼす力を表す方程式を示せば問題は解決する、と言えるかもしれません。しかし、問題はそれほど単純ではありません。力は距離や電荷の大きさだけでなく、各粒子の相対的な速度や加速度にも依存するのです。さらに、「電気的な情報」、すなわち位置、速度、加速度の変化は光速で伝わるため、その影響が試験電荷に届くまでに一定の時間がかかり、その効果が変化します。
したがって、ここでは研究を簡単にする目的で、静電的な場合に限定します。すなわち、すべての電荷源は静止し、試験電荷のみが運動できるとします。この文脈においてクーロンの法則が現れます。
クーロンの法則
試験電荷 q_0. が位置 \vec{r} にあり、電荷源 q が位置 \vec{r}^\prime. にあると仮定しましょう。このとき、電荷源が試験電荷に及ぼす力 \vec{F}_{q \to q_0}(\vec{r}) は何でしょうか。この問いへの答えはクーロンの法則によって与えられ、次の式で表されます。
\vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) =\displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime \|^2} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|}
クーロンの法則は、静電力に関する符号の法則を要約するだけでなく、電荷間の力がそれらを隔てる距離の二乗に反比例することを定めています。
定数 \epsilon_0 は、真空の誘電率定数 と呼ばれます。その国際単位系における値は次の通りです。
,
\displaystyle \epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \left[ \frac{C^2}{N\cdot m^2}\right]
電荷源に中心を置いた系に対するクーロンの法則
クーロンの法則は、観測者を電荷源に置く、すなわち \vec{r}^\prime = \vec{0}. とすることで、より単純に表現できます。この場合、次のようになります。
\displaystyle \vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \frac{\vec{r} }{\|\vec{r} \|} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \hat{r}
ここで \hat{r}=\vec{r}/\|\vec{r}\| は、電荷源から試験電荷へ向かう単位ベクトルです。
演習
- 大きさが等しい12個の点電荷 q が正十二角形の頂点（時計の数字の位置に相当）に置かれているとする。中心に置かれた点電荷 q に働く合力はどうなるか。
- 前の演習の12個の電荷のうち1つを取り除く。たとえば12時の位置にある電荷を取り除いたとする。このとき、中心の点電荷 q はどのような力を受けるか。
- 前の2つの演習の考え方を一般化し、今度は n 個の電荷源が正 n 角形の頂点に分布し、その中心に試験電荷が置かれている場合を考えよ。
- 次の3つの点電荷がある: q_1=+3[nC] （位置 (0;0)[mm],）、q_2=-5[nC] （位置 (0,56;0)[mm]）、q_3=+7[nC] （位置 (1;1)[mm].）。電荷 q_3 に働く合力を計算せよ。
- ある軸上に電荷 q_1 = 3[C], があり、その40[mm] 離れた位置に別の電荷 q_2 = 7[C] がある。この2つの電荷の間に第3の電荷を置き、この電荷に働く力の合力がゼロになるようにするには、第3の電荷と他の2つとの距離はどうなるか。
- 質量 0,040[kg] の小さな銅の球が2個あり、距離 2,0[m] だけ隔てて置かれている。銅のモル質量が 63,5[g/mol] で、その原子番号が20であるとき、次の問いに答えよ:
- 各球には何個の電子があるか。
- 2つの球の間に 10^4[N] 程度の引力を生じさせるためには、何個の電子を一方の球から他方へ移動させる必要があるか。
- それは球の電子全体のうちどの程度の割合に相当するか。