熱容量
物体を加熱すると実際に何が起こるのか考えたことはありますか。熱容量は、エネルギー、温度、そして物質の物理的状態を結びつけるこの基本的な現象を理解する鍵です。この興味深い概念は、水が金属よりも加熱に時間がかかる理由を説明するだけでなく、熱力学、工学、材料科学といった分野においても極めて重要です。
学習目標
- 理解する：熱容量の概念を、系の温度を変化させるために必要なエネルギー量の尺度として。
- 応用する：比熱容量およびモル熱容量の定義を実際の文脈で。
熱容量の問題
熱容量について語ると、私たちは特異な状況に直面します。熱を、例えば5リットルの容量を持つバケツに水を貯めるように、物体の中に「蓄える」ことはできません。これが「熱」や「熱容量」という言葉の意味ではありません。実際、この誤解は物理学における歴史的遺産に由来します。古代では、熱はある種の物質であると考えられていましたが、今日ではその考えが誤りであることがわかっています。現在では、熱は温度の変化を引き起こす移動中のエネルギーであり、仕事が系の状態を変化させるために用いられるエネルギーであるのと同様であると理解されています。
この用語は、その創出以来、物理学の日常的な使用に定着するのに十分な時間が経過しています。そのため、「キャパシタンス」といった用語の方がより適切に見えるかもしれませんが、現在それを置き換えることは、数百万冊の書籍の名称を変更するだけであり、実質的な利益をもたらすものではありません。
しかしながら、それにもかかわらず、熱および容量の概念は特に複雑ではありません。その考えを理解するためには、次の問いを立てるだけで十分です。
熱と物体の温度変化 \Delta T との関係は何か。
この問いへの答えは、微分関係 dQ = CdT, に基づきます。ここで C は熱容量です。
C:= \dfrac{dQ}{dT}.
ここで重要なのは、これはある物体の温度を上昇させるためにどれだけの熱が必要かを示しているという点であり、物体が他のものを加熱する能力とは関係がないということです。熱容量の定義から推論できるように、その単位は [J/K] です。
熱容量の種類
比熱容量
熱容量について述べるとき、
2つの異なる表現があります。すでに示した通常の熱容量と、比熱容量です。両者の違いは、比熱容量が単位質量あたりの熱容量を指す点にあります。その定義は次のとおりです。
c := \dfrac{C}{m}
ここで m は物体の質量を表します。
比熱容量にモル質量を掛けると、モル比熱容量が得られ、その定義は次の通りです。
c_{mol} := c \cdot m_{mol}
重要なのは、比熱量のような比の量には常に小文字が用いられるという点です。
例
水の比熱容量
は、室温 (26^\circ C) において次の通りです：
c = 4.181 \cdot 10^3 \left[\dfrac{J}{kg \cdot K}\right]
次を計算せよ：
a) 2 \, [kg] の水の温度を 14^\circ C 上昇させるのに必要なエネルギー。 |
b) 3 \, [L] の水の熱容量。 |
c) 水のモル比熱容量。 |
定圧熱容量と定積熱容量
気体を考えるとき、追加の複雑さに直面します。この場合、系の温度を 1[K] 上昇させるためにどれだけの熱を加える必要があるかを求めようとします。しかし、この操作には2つの異なる方法があります。
| (1) | 気体を密閉された箱に入れて加熱する。このとき温度が上昇すると、気体の膨張は妨げられるため体積は一定に保たれますが、その結果として圧力は増加します。この方法は「定積過程」として知られています。 |
| (2) | 気体を可動ピストン付きの容器に入れる。このとき温度が上昇すると、気体がピストンを押し出すことを許し、内部の圧力は一定に保たれますが、その結果として体積は増加します。この方法は「定圧過程」として知られています。 |
いずれの場合も、私たちは系に対して制約を課しています。このような状況では、それぞれの場合に応じて熱容量の定義を修正する必要があり、したがって定積熱容量および定圧熱容量を持つことになります。C_V および C_P です。これらの量は次のように偏微分で表されます。
C_V = \left(\dfrac{\partial Q}{\partial T}\right)_V
C_P = \left(\dfrac{\partial Q}{\partial T}\right)_P
例
ヘリウムの熱容量を定積で測定すると 3,12\left[\dfrac{kJ}{kg \cdot K}\right] であり、定圧で測定すると 5.19\left[\dfrac{kJ}{kg \cdot K}\right] となります。定積および定圧におけるモル熱容量を計算せよ。
演習:
- 世界の海洋にはおよそ 10^{21}[kg] の水が存在します。世界の海洋の熱容量を計算せよ。 [解答]
- 世界のエネルギー消費はおよそ 13[TW] （さらに増加中）です (1TW=10^{12}[W])。原油1トン（およそ7バレルに相当）を燃焼させると、およそ 42[GJ] （1[GJ]=10^9[J]）が得られます。もし世界の消費が石油のみで賄われるとすると、1秒あたり何バレルを燃やす必要があるか。 [解答]
- 金のモル熱容量は 25,4\left[\dfrac{J}{mol \cdot K}\right] です。その密度は 19,3\cdot 10^3 \left[\frac{kg}{m^3}\right] です。金の比熱容量とその体積あたりの値を計算せよ。 [解答]
- 2つの物体があり、それぞれ熱容量 C_1, C_2 （温度に依存しないと仮定）と初期温度 T_1, T_2 を持つとする。これらを接触させると、物体の最終温度 T_f は次式で与えられることを示せ。 T_f = \dfrac{C_1 T_1 + C_2 T_2}{C_1 + C_2}
そして、もし C_1 が C_2 よりも十分大きい場合、次のようになる：
T_f \approx T_1 + \dfrac{C_2}{C_1}(T_2 - T_1)