要約：
この講義では、いくつかの物理系が統計的に扱われる理由を説明するために熱力学極限の概念を導入します。粒子が壁に衝突するという類推が用いられ、そこで圧力は単位面積当たりの総力として定義されます。無限大の面積を考慮すると、容器内の圧力は分子が壁に及ぼす運動量から計算されます。

学習目標：
本講義を終了すると、学生は次のことができるようになります。

1. 説明する：熱力学極限が総力と面積に基づく圧力の定義にどのように適用されるか
2. 理解する：熱力学極限が統計物理学および気体の運動論にどのように適用されるか。
3. 理解する：示強変数と示量変数の違い。
4. 理解する：熱力学を研究するさまざまなアプローチの基本的な考え方。

内容目次：
熱力学極限における圧力の導入
熱力学極限
示量変数と示強変数
熱力学のアプローチ

熱力学極限における圧力の導入

熱力学極限の概念は、なぜ特定の物理系が統計的な考察によって扱うことができるのかを理解することを可能にします。これは、それらを構成する粒子の数が非常に多いためです。これを示す簡単な方法は類推を用いることです。例えば、ある速度で粒子を壁に向かって発射する大砲を持っていると想像してください。粒子には質量があるので、壁に衝突すると運動量の一部を壁に伝え、それによってある程度の衝撃を与えます。

このように、速度と質量が分かっていれば、各粒子が及ぼす力を計算することができます。では、それが大砲ではなく、無数の粒子が均一に集中して地面のある領域を打ち付けている「雨」だと想像してみてください。その領域は私たちの望むだけ大きくすることができます。その結果として何が得られるでしょうか。

1. 考慮する面積が大きくなるにつれて、平均力が増加します。面積が大きいほどより多くの粒子が受け取られるため、これは当然です。
2. 各粒子が及ぼす力が変動したとしても、それは「平滑化」され平均値に近づきます。実際、変動は大きい場合もありますが、面積を増やせば、全力は非常に大きくなり、そのような変動は無視できるようになります。

全体の力が面積に比例するので、次の定義を設定するのは理にかなっています。

定義

総力 \vec{F} が面積 {A} に作用するときに生じる 圧力 P は、次の極限として定義されます \color{blue}{\displaystyle P = \lim_{A\to\infty} \frac{\vec{F}\cdot \hat{n}}{A}} ここで \hat{n} は表面の法線ベクトルです。 これはしばしば簡潔に次のように書かれます \displaystyle P = \frac{F}{A}

この類推で導入された圧力は、面積が増加しても変化しません。むしろ、圧力の変動は消滅する傾向があります。実際、面積が無限大に近づく極限を取れば変動は無視できます。

熱力学極限

容器内で運動する分子を考えると、それらが境界に衝突するたびに境界に一定の衝撃を与えます。これらすべての衝撃の集合効果が、単位面積当たりの力として解釈される圧力です。もし容器が非常に小さければ、力の揺らぎを気にする必要があるかもしれません。しかしほとんどの場合、粒子の数が非常に大きいため、揺らぎは無視できます。この条件下での気体の圧力は完全に一様であると見なされます。私たちが今述べたこの記述が、「熱力学極限にある」と理解されるものです。

示量変数と示強変数

体積 V の容器に温度 T、圧力 P の気体があり、その総運動エネルギーが U であるとします。今、容器の内部に仕切りを置いて、気体を二つの等しい半分に分けると想像しましょう。すると、それぞれの半分の体積 V^* は次のようになります

\displaystyle V^* = \frac{V}{2}

それぞれの半分の総運動エネルギー U^* も半分になります

\displaystyle U^* = \frac{U}{2}

しかし、温度や圧力のような量は両方の半分で同じです

P^* = P

T^* = T

このことから、熱力学に関わる量の間には区別が生じます。体積やエネルギーのように、表す量が系の大きさに応じて比例する場合、それらを示量変数と呼びます。一方、圧力や温度のように、系の大きさによって変化しない量を示強変数と理解します。

熱力学のアプローチ

歴史的に、熱力学はさまざまな段階で発展し、いくつかのアプローチを残してきました。

• 古典熱力学は、圧力、温度、体積などの巨視的性質を扱い、物質の微視的側面を気にしません。これは、熱力学極限以前の揺らぎを無視できるほど十分に大きな系を扱い、物質の原子構造を無視します。
• 気体の運動論は、その分子の運動に関連する確率分布を考慮して気体の性質を決定しようとします。その始まりは論争の的でした。というのも、この理論が創始された当時は、19世紀末に証明されるまで、原子や分子の存在について疑問が残っていたからです。
• 原子の発見は統計力学の発展につながりました。熱力学のように巨視的性質の記述から始めるのではなく、そのアプローチは個々の微視的系の状態を記述しようとすることから始まり、次に統計的手法を用いて系の巨視的性質を推定しようとします。このアプローチは量子力学の発展によって恩恵を受けます。量子力学は量子微小系の記述を可能にするからです。このように、熱力学で述べられることは、熱力学極限における統計力学の極限として得られます。