基礎的な考え方

確率論の研究を始めるにあたって、まず、決定論的プロセスと非決定論的プロセスの関係およびそれらが確率や偶然とどのように関連するかを探究しなければなりません。自然で起こるプロセスは互いに排他的な二つの種類に分類されます。それは決定論的であるか、非決定論的であるかのいずれかです。決定論的プロセスとは、与えられた初期条件に対して常に同じ結果を導くものです。一方、同じ初期条件において複数の可能な結果を生じ得るプロセスは非決定論的と呼ばれます。これらの可能な結果は、単一であろうと複数であろうと、状態と呼ばれます。そして、プロセスはモデルを通じて理解しようとされ、モデルも同様に決定論的または非決定論的です。

非決定論的プロセスの文脈において確率の研究が現れます。これは形式科学（論理学のような）であり、非決定論的プロセスがある状態または状態の集合を生じる頻度について情報を得ることができます。

自然界における決定論的プロセスと非決定論的プロセス

投射体の発射プロセスをモデル化したいと仮定します。制御された環境にある場合、ニュートン力学によれば、各初期速度および位置に対して投射体は特定の地点に着弾します。これは現実の決定論的モデルを表します。しかし、現実の世界には完全に制御された環境は存在せず、投射体は特定の領域内に落下する傾向があり、それは複数の可能な状態を意味します。

一般に、環境や初期条件の制御および測定に対する私たちの制約が、システムの最終状態を特定することを許さないため、私たちは多様な状態と非決定論的モデルに対処せざるを得ないと言われます。プロセスの複雑さが増すにつれて、環境と初期条件に対する制御の欠如も増大します。

確率と偶然

偶然は非決定論的プロセスに固有の特徴です。ある初期条件の集合に対して、どの可能な状態も他よりも頻繁に起こるようには見えないとき、プロセスは偶然のまたはランダムなものと呼ばれます。最も単純な例はコイン投げです。投げる回数が増えると、表と裏の出現頻度が同じになる傾向が観察されます。言い換えれば:

\displaystyle \lim_{N\to \infty} \dfrac{C}{N} = \lim_{N\to \infty} \dfrac{S}{N} = \dfrac{1}{2}

ここで N は投げた総数、C と S は N 回の投げの中で得られた表と裏の回数です。

この値が確率であり、確率の理解は等確率な結果を持つ実験を分析することから得られます。これは決定論的プロセスと非決定論的プロセス、およびそれらが確率と偶然とどのように関係しているかの本質です。