極限計算におけるサンドイッチ定理
要約：
この講義では、サンドイッチ定理を紹介します。これは、より単純な関数を上下から挟むことで難しい極限を評価するための、微積分における重要なツールです。図による説明と形式的な証明の後、実践的な例を通して理解を深めます。目的は、学生がこの定理を用いてより効率的に極限を計算できるようになることです。
学習目標：
この講義を修了すると、学生は以下のことができるようになります：
- 理解する：極限計算におけるサンドイッチ定理の有用性を理解する。
- 識別する：サンドイッチ定理を適用するために、目標関数を挟むことができる関数を見つける。
- 適用する：困難な極限の計算にサンドイッチ定理を用いる。
- 視覚化する：サンドイッチ定理の概念をグラフで視覚的に理解する。
- 証明する：サンドイッチ定理を形式的に証明する。
目次：
導入
サンドイッチ定理の図によるイメージ
サンドイッチ定理の証明
例題
導入
サンドイッチ定理の有用性は、難しい極限をより簡単な関数を使って計算できる点にあります。この名称の由来は、x\to x_0 のとき、元の関数の極限を直接計算する代わりに、上下から挟む別の2つの関数を用い、それらの極限が一致して計算しやすいという点にあります。元の関数が常にその2つの関数の間にあるため、「2枚のパンに挟まれたチーズ」のようになるのです。
サンドイッチ定理の図によるイメージ
この定理の要点は、実のところ非常に単純です。 ある難しい極限を計算したいとしましょう。
\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)
通常は、関数の代数的性質に関する知識を総動員して、評価可能な形に簡略化することを試みます。しかし、場合によっては異なるアプローチの方がはるかに効率的です。x_0 \in I を満たす閉区間 I が存在し、さらに他の2つの関数 m(x) および M(x) が以下の関係式を満たすとしましょう。
(\forall x\in I)(m(x)\leq f(x) \leq M(x) )
さらに、次が成り立つとします。
\displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = \lim_{x\to x_0} M(x) = L
このとき、次のことが成り立ちます。
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
これは以下の図で確認することができます。
サンドイッチ定理の証明
サンドイッチ定理を証明するには、次の論理を用います：
| (1) | x_0\in I；前提 |
| (2) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = L；前提 |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_1 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_1 \rightarrow |m(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (3) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} M(x) = L；前提 |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_2 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_2 \rightarrow |M(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (4) | (\forall x \in I)(m(x) \leq f(x) \leq M(x) )；前提 |
| (5) | (\forall x \in I)(m(x) - L \leq f(x) - L \leq M(x) - L )；(4) より |
| (6) | (|m(x) -L|\lt \epsilon) \rightarrow (-\epsilon \lt m(x) - L \lt \epsilon) |
| (7) | (|M(x) -L|\lt \epsilon ) \rightarrow (-\epsilon \lt M(x) - L \lt \epsilon) |
| (8) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( |M(x) -L| \lt \epsilon \wedge |m(x) -L| \lt \epsilon ) )；(2,3) より |
| (9) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( - \epsilon \lt f(x) - L \lt \epsilon ) )；(1,5,6,7,8) より |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow |f(x) - L| \lt \epsilon ) ) | |
| \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L\;\blacksquare |
例題
サンドイッチ定理を用いることで、関数の代数的な明示式が与えられていない場合でも、その極限を計算することが可能です。以下にそのような例を2つ示します：
このような例のひとつは、次のような状況です：
- \sqrt{5-2x^2}\leq f(x) \leq \sqrt{5-x^2} が -1\leq x\leq 1 のとき、\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x) の値は？ 【解答】
サンドイッチ定理のもう一つの実用的な使用法として、極限そのものが明らかではないが、より単純な関数で上下から挟める場合があります。次のような例がその一つです：
- 次を計算せよ：\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} 【解答】