1. 多項式の代数：定義

多項式の代数を理解するためには、まず多項式とは何かを知る必要があります。 多項式は代数関数です。変数 x が実数であるとき、関数 P(x) が次の形で表されるならば、P(x) は多項式と呼ばれます：

\displaystyle P(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n,

ここで、n は0以上の整数であり、すべての a_i （i\in\{1,2,3,\cdots,n\}）は実数係数です。ある k が存在して a_k\neq 0 かつ k\lt i に対して a_i=0 であるならば、この k の値は多項式の次数と呼ばれます。言い換えると、多項式の次数とは、ゼロでない係数に対応する最大のべき指数のことです。

2. 多項式の種類

多項式はその次数によって分類されます； そのため、多項式について言及する際には、通常その多項式が k 次であると述べます。ここで、k は非ゼロの係数に付随する x の最大のべき指数です。

2.1. 定数多項式

次数がゼロのすべての多項式と零多項式を含む族です。多項式が P(x)=c, の形で表され、c\neq 0 であるとき、次数はゼロと定義されます。一方で、零多項式は P(x) = 0 の形で表され、その次数は定義されません。

3. 多項式の代数：演算

多項式は実数の代数におけるすべての性質を受け継ぎます。 特に、分配法則と結合法則が重要です。

3.1. 加算と減算

P と Q がそれぞれ n 次および m 次の多項式であるとします。

m=n+k かつ 0\leq k

このとき、次のようになります：

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) \pm Q(x) &=\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \sum_{i=0}^m b_i x^i \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \left( \sum_{i=0}^n b_i x^i + \sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \right) \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n (a_i \pm b_i) x^i + \sum_{i=n+1}^m b_i x^i \end{array}

つまり、x の同じべき指数に対応する係数同士を加算または減算します。

例：
P(x) = 3+5x+2x^2 および Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5 のとき、次のようになります：

P(x) + Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5

P(x) - Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5

3.2. 乗算

多項式の加算と減算と同じ文脈において、 多項式の積は次のように展開されます：

まずスカラー倍を区別します。もし c \in \mathbb{R} であれば、次のようになります：

\displaystyle c P(x) = c \sum_{i=0}^n a_i x^i =\sum_{i=0}^n c a_i x^i

そして次に、多項式同士の乗算があります：

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) Q(x) &\displaystyle = \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) \left(\sum_{j=0}^m b_j x^j\right) \\ \\ &=\displaystyle \left[\sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) b_j x^j\right] \\ \\ &=\displaystyle \sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \right) \\ \\ &=\displaystyle \sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j} \end{array}

これは「すべてとすべての積の総和」と表現されるものです。

例：
P(x) = 4x+ 2x^2-x^4 および Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3 のとき：

P(x)Q(x) =\cdots \\ {} \\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\ {} \\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7

4. 多項式の因数分解と除法

2つの多項式を掛け合わせると、2つの単純な多項式からより複雑な（より高次の）多項式が得られます。 多項式を因数分解する場合は、その逆の過程をたどります：複雑な多項式を、より低次の2つ以上の多項式の積に変換します。

多項式 P(x) を因数分解するには、x の値のうち、その多項式をゼロにするものを見つける必要があります。もしそのような値が存在すれば、その多項式は因数分解可能です。存在するかどうかを語るのは容易ですが、それを見つけることについて語るのはまったく別の話です。このトピックについては、2次および (2n) 次の多項式の因数分解を学ぶ際に、より詳しく検討します。

4.1. 代表的な積（注目すべき積）

しかしながら、因数分解が簡単に得られる場合もあります。
その一例が代表的な積（注目すべき積）です。これらのいくつかの結果は次のとおりです：

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

4.2. 除法のアルゴリズム

整数の乗算によって合成数が得られ、割り算のアルゴリズムによって余りがゼロのとき因数分解が可能になるように、 多項式にも同様のことが起こります。除法のアルゴリズムを「文章で」説明するのは少し複雑かもしれませんが、実際にどのように行うのかを目で見て理解する方がはるかに簡単です。アルゴリズムがどのような場合に因数分解につながるかを理解するために、いくつかの例を確認していきます。

例： 以下の各場合について P(x):Q(x) を計算せよ：

1. P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1, Q(x)=x-1 [解答]
2. P(x)=x^4+2x^3-x+1, Q(x)=x^2-4 [解答]
3. P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1, Q(x)=x^2+x+1 [解答]
4. P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1, Q(x)=x^3-2x^2+1 [解答]