定義域・値域・グラフの定義

ここまでに、線形関数や二次関数などについてかなり詳しく学習してきました。また、直線、放物線、楕円、双曲線のような曲線や、多項式および一般的な代数関数に対する演算も学びました。これらを踏まえて、今回は関数一般に関わるもう少し基礎的な側面に入り込みます。その出発点として、定義域・値域・グラフの概念を導入します。

f をある関数とする とき、A および B という集合の間で定義されるとします。

\begin{matrix}f & : & A & \longrightarrow & B \\ & & x & \longmapsto & y=f(x) \end{matrix}

集合 A および B はそれぞれ「入力集合」と「出力集合」と呼ばれます。これらに基づいて、次の集合が定義されます：

Dom(f) = \{x\in A\;|\; (\exists y \in B)(y=f(x))\}

Rec(f) = \{y\in B\;|\; (\exists ! x \in Dom(f))(y=f(x))\}

Graf(f) = \{(x,y)\in A\times B\;|\; x\in Dom(f) \wedge y=f(x) \}

例の分析

定義域、値域、およびグラフに関して学べることは本質的には理論的な問題であるにもかかわらず、その理解は実践的な例の展開によって深まります。そこで、次に示す三つのケースを分析することで学んでいきます。

関数 f(x) = \sqrt{1-x^2} の定義域・値域・グラフを求める

この分析を始めましょう。y=f(x) と書くことで、次のような方程式が得られます。

y = \sqrt{1-x^2}

この式の両辺を二乗すれば、既知の内容につながる式がすぐに得られます。

\begin{array}{rl} & y^2 = 1-x^2 \\ \equiv & x^2 + y^2 = 1 \end{array}

これは単位円の方程式です。

しかし、ここでは注意が必要です。というのも、両辺を二乗することで「情報が追加されている」ためです。代数的には、平方根の条件を満たす値は 2 つ存在しますが、分析の出発点では平方根は関数として定義されており、関数は常に一意の値しか持ちません。ここで扱っているのは主平方根です。このため、元の定義は円全体ではなく、その上半分のみを表しています。

この図から次のことが明らかです：

Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; |x|\leq 1\} = [-1,1]

Rec(f) = \{y\in\mathbb{R}\;|\; 0\leq y\leq 1\} = [0,1]

Graf(f) = \{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\;|\; x\in [-1,1] \wedge y=\sqrt{1-x^2}\}

ここでは図的な視点から分析を進めてきましたが、これはより解析的な方法でも行うことが可能です。そのためには、関数に含まれる演算を検討すればよいのです。

f(x) = \color{red}{\sqrt{{1-x^2}}}

部分式 1-x^2 はすべての実数で定義されています。

しかし、平方根は 0 以上の値のみを受け付けます。

したがって、次のようになります：

\begin{array}{rlrl} x\in Dom(f) & \leftrightarrow & 0 &\leq 1-x^2 \\ {} & \leftrightarrow & x^2 &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & |x| &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & -1 &\leq x \leq 1 \\ \end{array}

したがって：\; Dom(f) = \{x\in \mathbb{R}\;|x| \leq 1\} = [-1,1]

値域を求める解析的手法は、一般により複雑です。最も単純なケースでは逆関数を求めることで解決できますが、その前に関数の合成やより単純なケースを学習することが望ましく、理解の基盤を築くためにも重要です。その間は、まもなく取り上げる図的手法によって、値域の決定における多くの困難を克服できるでしょう。

関数 g(x) =\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} の分析

関数の定義域をすばやく求める 一つの方法は、x の値のうち「関数を壊す」ものを探すことです。分母が 0 になると関数が壊れることは明らかです。すなわち：

\begin{array}{rl} & x^2 + 1 = 0 \\ \equiv & x^2 = -1 \\ \end{array}

この条件を満たす実数は存在しないため、次のことが明らかです：

\color{blue}{Dom(g) = \mathbb{R}}

関数の値域を求めるには、グラフを描くことが最も早い方法であることが多いです。その際、多項式の除法が有効な手段となります。

多項式の除法を実行すると、次のようになります：

y= \displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 -\displaystyle\frac{2}{x^2 + 1}

このようにして、元の関数を扱いやすい 2 つの部分、いわゆる「整数部分」と「分数部分」に分解することができます。それぞれの部分を別々にグラフ化する方が、関数全体を一度に描くよりもずっと簡単です。

関数 h(x) =\displaystyle \frac{x - 1}{\sqrt{x+1}} の分析

代数的な分析によって、この関数の定義域を迅速に求めることができます。次の条件が満たされていれば関数は定義されます：

\begin{array}{rrl} & 0 & \lt x + 1 \\ \equiv & -1 & \lt x \\ \end{array}

したがって、Dom(h)=]-1,+\infty[. であることが明らかです。

値域を求めるためには、グラフを描くのが有効であり、そのために 符号表 を用いると簡単に行えます。関数 h(x) は次の 2 つの部分から構成されています：

h(x)=\displaystyle\frac{\color{green}{x-1}}{\color{red}{\sqrt{x+1}}}

分子は x=1 で 0 になります。分母は x=-1 で 0 になり、それより小さい値では未定義となります。この情報に基づき、次の符号表が作成されます：

この表に示された情報により、関数のグラフを描くのは非常に簡単になりました。

これにより、定義域と値域を求めるのはもはや自明です：

Dom(h)=]-1,+\infty[

Rec(h)=\mathbb{R}

提案された演習

これまでに学んだツールを用いて、次の関数の定義域、値域、およびグラフを求めてみましょう。

F(x) = \displaystyle\frac{4x^3 + 6x^2 -2x + 1}{x^2-4}