不定積分と基本的な積分技法

この講義では、最も基本的な不定積分を計算するための基本的な技法、および積分演算子の性質を紹介します。これには、多項式、指数関数、双曲線関数、三角関数の基本的な積分が含まれます。

学習目標:
この講義の終了時には、学生は以下のことができるようになります。

理解する：不定積分のプロセスを微分の逆過程として理解する。
計算する：多項式や指数関数、双曲線関数、三角関数を含む式の積分を計算する。
活用する：積分の性質を用いて、計算を容易にする代数的操作を行う。

不定積分の重要性

不定積分は、微積分において基本的な道具であり、物理学や数学における幅広い応用があります。与えられた関数の原始関数を求めることができ、これは曲線下の面積、立体の体積、確率の計算、さらには物理学、工学、統計学、経済学などにおける多くの応用に用いられます。さらに、不定積分は微分方程式の解法にも不可欠であり、多くの科学技術分野において不可欠な存在です。

逆微分、不定積分、および関数の原始関数

ある関数 $F(x)$ が、ある区間 $I$ において $f(x)$ の導関数であるとき、 $F(x)$ はその区間における $f(x)$ の原始関数であると言います。

重要なのは、 $F(x)$ が $f(x)$ の原始関数であるならば、任意の実定数 $C$ に対して $F(x) + C$ もまた $f(x)$ の原始関数であるということです。これは次のように表されます：

$\displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C$

定数 $C$ は積分定数と呼ばれ、関数の原始関数が一つの関数ではなく、導関数が $f(x)$ となるすべての関数の族、すなわち関数の集合であることを意味します。

「逆微分」「原始関数」「不定積分」という言葉は、本質的に同じ概念を表しており、通常は区別せずに使用されます。要するに、不定積分とは導関数の計算に対する逆の操作であり、この発想から最も基本的な性質が導かれます。

不定積分の基本的性質

不定積分を計算するには、まずいくつかの基本的な性質を知る必要があります。これらの性質は、導関数の性質から直接引き継がれたものです。

$\displaystyle \int \dfrac{df(x)}{dx} dx = f(x) + C$
不定積分は微分の逆操作であるため。

$\displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx$
ここで $\lambda$ は任意の実数定数です。これは次のように説明されます：
$\begin{array}{rl} {} \displaystyle \int \lambda \dfrac{d\phi(x)}{dx}dx &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx}\lambda \phi(x) dx \\ \\ &= \lambda \phi(x) + C_1 \\ \\ &= \lambda(\phi(x) + C_2) \\ \\ &= \lambda \displaystyle \int \frac{d\phi(x)}{dx}dx \end{array}$
そして、 $f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx}$ と置くことで
$\displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x)dx$

$\displaystyle \int f(x) + g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$
これは上と同様な方法で証明できます。2つの関数 $\phi(x)$ と $\psi(x)$ を考え、それぞれ次を満たすとします：
$f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx}$ および $g(x) = \dfrac{d\psi(x)}{dx}$
すると、次のようになります：
$\begin{array}{rl} {} \displaystyle \int f(x) + g(x) dx &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} + \dfrac{d\psi(x)}{dx} dx \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx} (\phi(x) + \psi(x)) dx \\ \\ &= \phi(x) + \psi(x) + C \\ \\ &= (\phi(x) + C_1) + (\psi(x) + C_2) \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} dx + \int \dfrac{d\psi(x)}{dx}dx \\ \\ &= \displaystyle \int f(x) dx + \int g(x) dx \end{array}$

基本的な積分技法

基本的な積分技法を用いることで、導関数の結果を利用していくつかの不定積分を計算することができます。これらの技法を通じて、次のような積分に有用な結果が得られます：

多項式関数の積分

$\displaystyle \int 1 dx = x + C$
なぜなら $\dfrac{d}{dx} (x + C)= 1$ だからです。
$\displaystyle \int x^q dx = \dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C,$ ただし $q\neq -1$
なぜなら $\dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C\right) = x^q$ だからです。

これらの結果と基本的性質を組み合わせれば、任意の多項式の積分を難なく計算できます。

例：

$\displaystyle \int \left( 3x+2 \right) dx = \dfrac{3}{2}x^2 + 2x + C$
$\displaystyle \int \left( 5x^2 + 2x + 3 \right) dx= \dfrac{5}{3}x^3 + x + 3x + C$
$\displaystyle \int \left( 4x^{12} - 7x^{-1/3} + 1 \right) dx$

$\begin{array} {} &= \dfrac{4}{13}x^{13} - \dfrac{7}{2/3}x^{2/3} + x + C \\ \\ &= \dfrac{4}{13}x^{13} - \dfrac{21}{2}x^{2/3} + x + C \end{array}$

指数関数と対数関数の積分

指数関数および対数関数の導関数から、次の基本的な積分結果が導かれます：

$\displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C$
なぜなら $\dfrac{d}{dx}\left(e^x + C\right) = e^x$ だからです。
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x} dx = ln|x| + C$
なぜなら $\dfrac{d}{dx}\left(ln|x| + C \right) = \dfrac{1}{|x|} sig(x) = \dfrac{1}{x}$ だからです。
ここで、 $sig(x)$ は次のように定義される符号関数です：
$sig(x) = \left\{\begin{array}{} +1 &,&0\lt x \\ -1 &,& x\lt 0 \end{array}\right.$

1/x

の積分結果によって、私たちはより広い範囲の関数を積分できるようになります。なぜなら、これにより多項式の比で構成される関数の積分が可能になるからです。

例：

$\begin{array}{rl} \displaystyle \int \dfrac{x^2 + 3x + 2}{5x^2}dx &= \displaystyle \int \dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{x^2}dx \\ \\ &=\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{5}ln(x) - \dfrac{2}{5}\dfrac{1}{x} + C \end{array}$

$\begin{array}{rl} \displaystyle \int \dfrac{x^2 - 3 x + 2}{(x-2)^2}dx &= \displaystyle \int \dfrac{(x-2)^2 + (x-2)}{(x-2)^2} dx \\ \\ &= \displaystyle \int 1 + \dfrac{1}{x-2} dx \\ \\ &= x + \displaystyle \int \dfrac{1}{x-2}dx = x + ln|x-2| + C \end{array}$
なぜなら
$\dfrac{d}{dx}\left( ln|x-2| + C\right) = \dfrac{1}{|x-2|}sig(x-2) = \dfrac{1}{x-2}$

基本的な双曲線関数の積分

基本的な双曲線関数は次のとおりです：

$\begin{array} {} sinh(x) &=& \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \\ cosh(x) &=& \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \end{array}$

指数関数の積分の扱い方をすでに学んだので、双曲線正弦関数と双曲線余弦関数の積分も問題なく行えます。

双曲線正弦関数の積分はほぼ直接的に求められます：

$\begin{array}{rcl} {} \displaystyle \int sinh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx - \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x + e^{-x} \right) + C = cosh(x) + C \end{array}$

また、双曲線余弦関数の場合も、計算はほぼ同様です：

$\begin{array} {} \displaystyle \int cosh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx + \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x - e^{-x} \right) + C = sinh(x) + C \end{array}$

これらに加えて、積分可能な他の多くの双曲線関数も存在します：

$\begin{array} {} tanh(x) &=& \dfrac{sinh(x)}{cosh(x)} \\ sech(x) &=& \dfrac{1}{cosh(x)} \\ {}csch(x) &=& \dfrac{1}{sinh(x)} \\ ctgh(x) &=& \dfrac{1}{tanh(x)} \end{array}$

ただし、これらの積分には他の技法が必要であり、それについては今後の講義で学んでいきます。

基本的な三角関数の積分

基本的な三角関数は $sin(x)$ と $cos(x)$ です。それらの積分は、導関数に関する既知の結果からほぼ直接的に求められます。

$\begin{array} {} \displaystyle \int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \\ {} \displaystyle \int cos(x) dx = sen(x) + C \end{array}$

これは次のように確認できます：

$\begin{array} {} \dfrac{d}{dx}\left( sin(x) + C \right) &=& cos(x) \\ \\ {} \dfrac{d}{dx}\left( cos(x) + C \right) &=& -sin(x) \\ \\ \end{array}$

結論

この講義では、不定積分について、理論的な基礎から最も基本的な実用的応用に至るまでを概観しました。不定積分を導関数の逆操作として理解し、その基本的性質を特定し、多項式関数、指数関数、対数関数、双曲線関数、三角関数の簡単な積分に直接適用する技法を学びました。これらの知識は、将来的により複雑な積分問題に取り組むための本質的な基盤を提供し、物理学、工学、その他の科学における応用のためにも不可欠なものとなります。この基礎をもとに、今後の講義ではさらに高度な技法を導入していきます。