我々が標本空間を学ぶとき、それらが離散型と連続型の2種類に分類できることを観察します。標本空間が連続型である場合、その性質に従う確率変数を定義することができ、そこから離散確率分布を構築することが可能です。確率変数についてはすでにこちらで確認しましたので、ここでは離散確率分布に焦点を当てます。

離散確率分布の概念

確率変数 X が離散確率分布をもつとは、有限または可算無限の集合 C\subset\mathbb{R} が存在し、P\left(X\in C\right)=1; が成り立つ場合をいいます。このとき、もし x\in C に対して p_X(x) = P(X=x), が成立するならば、A\subset\mathbb{R}, に対して次が成り立ちます。

\begin{array}{lr} (*) & P\left(X\in A\right) = \displaystyle \sum_{x\in A \cap C} p_X(x) \end{array}

特に、

\begin{array}{lr} (**) & \displaystyle \sum_{x\in C} p_X(x) = 1. \end{array}

もし A=]-\infty, t], として P(X\in A) を計算すると、次が得られます。

P(X\in A) = P(X\leq t) = F_X(t) = \displaystyle \sum_{x\leq t}p_X(x)

この計算から、F_X は x\in C において大きさ p_X(x) の「階段状の跳び」を持つ関数であると結論できます。C から [0,1] への写像である関数 p_X を確率質量関数と呼びます。したがって、離散分布は有限または可算無限の集合 C\subset \mathbb{R} と、各 x\in C に対して定義され、式 (*) および (**) を満たす関数 p_X(x)\geq 0 によって与えられます。

最もよく知られている5つの離散確率分布

この節では、離散確率分布の研究を続けます。以下に、最もよく知られている5つの離散確率分布を取り上げ、それぞれがどのような問題解決に役立つかを例示します。

二項分布（ベルヌーイ分布）

二項分布、またはベルヌーイ分布は、確率変数として、各試行の成功または失敗の回数 X を考えます。ここで、試行回数は n、各試行の成功確率は p です。確率変数 X が二項分布に従うとき、X\sim Bi(n,p), となり、次の式が成り立ちます。

\displaystyle \large P(X=k)= {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}

ポアソン分布

ポアソン過程は、空間的および時間的な2つのカテゴリーに分けられます。この区別はパラメータ \lambda の分解から生じます。

• 時間的な場合: \lambda=f\cdot T, ここで f は頻度、T は時間の区間です。
• 空間的な場合: \lambda=\rho \cdot V, ここで \rho は密度、V は標本体積です。

いずれの場合も、パラメータ \lambda が無次元であることを強調しておく必要があります。また、ポアソン過程は二項過程の極限の場合であるため、この過程に関連する確率変数もある「成功または失敗の回数」と結びついています。確率変数 X がポアソン分布に従うとき、X\sim Po(\lambda), が成立し、次の式が成り立ちます。

\large\displaystyle P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

幾何分布

二項過程を想像してみましょう（例えばコインを繰り返し投げるような場合）。ある試行回数の後に得られる成功の数を問う代わりに、最初の成功を得るために必要な試行回数を問うならば、それは幾何分布に従う離散確率変数となります。確率変数 X が幾何分布に従うとき、X\sim Ge(p), が成り立ち、次の式が与えられます。

\displaystyle \large P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

負の二項分布

幾何分布に類似するのが負の二項分布であり、より一般的な形となります。二項過程（例えばコインを連続的に投げる場合）を行い、成功回数を問うのではなく、m 回目の成功を得るまでに行う試行回数を問う場合、それは負の二項分布に従う離散確率変数となります。確率変数 X が負の二項分布に従うとき、X\sim Bn(m,p), が成り立ち、次の式が与えられます。

\displaystyle\large P(X=k)= {{k-1}\choose{m-1}} p^m(1-p)^{k-m}

超幾何分布

袋を想像してみましょう。そこには N 個の玉があり、そのうち M 個が白、残りは黒です。この袋から n 個の玉を（非復元で）取り出すとき、取り出された白玉の数は超幾何分布に従う離散確率変数に対応します。確率変数 X が超幾何分布に従うとき、X\sim Hg(N,M,n), が成り立ち、次の式が与えられます。

\displaystyle \large P(X=k)=\frac{{{M}\choose{k}} {{N-M}\choose{n-k}}}{{N}\choose{n}}

演習問題

1. あるボードゲーム店が、交換可能な500枚のカードのロットから無作為にカードを販売しているとする。店主は常に合計で450枚のコモン（低価値）カードと50枚のレア（高価値）カードがあるように管理している。無作為に20枚を購入したとき、レアカードを3枚得る確率はどのくらいか。

2. 次のカードをゲームで使用する：

   

   相手のカードが4枚捨て札になる確率はどのくらいか。

3. ある店舗において、工場出荷時の不良品を販売してしまう確率は2%である。10番目に販売されたデバイスが、工場不良の3台目である確率はどのくらいか。