लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन की समीक्षा

विशेष सापेक्षता में, एक निरपेक्ष समय की धारणा को अस्वीकार कर दिया जाता है। इसके बजाय, यह स्थापित किया जाता है कि प्रकाश की गति, c, सभी जड़त्वीय फ्रेमों में स्थिर है। यह परिवर्तन, सापेक्षता के सिद्धांत के साथ, हमें लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन की ओर ले जाता है। ये ट्रांसफॉर्मेशन दो अलग-अलग जड़त्वीय फ्रेमों से देखी गई एक घटना के निर्देशांक को जोड़ते हैं। इस विषय को विशेष सापेक्षता में लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन कक्षा में विस्तार से खोजा गया है।

जब मानक कॉन्फ़िगरेशन में जड़त्वीय फ्रेमों S और S^\prime पर विचार किया जाता है, जहां उनके अक्ष और उत्पत्ति t=t^\prime =0 पर मेल खाते हैं, और t=t^\prime = 0 पर उत्पत्ति से निकला फोटॉन, प्रत्येक फ्रेम में फोटॉन के स्थान और समय के निर्देशांक निम्नलिखित समीकरण को पूरा करना चाहिए:

c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 - {y^\prime}^2 - {z^\prime}^2 = 0.

इस समीकरण और सापेक्षता के सिद्धांत से हम प्रसिद्ध लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन प्राप्त करते हैं:

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

जहां \beta_{ss^\prime_x} =v_{ss^\prime_x}/c वह गति बढ़ाव है जो S^\prime ने S के सापेक्ष गति v_{ss^\prime_x} पर प्राप्त किया है, और \gamma_{ss^\prime_x} = 1/\sqrt{1-\beta_{ss^\prime_x}^2} संबंधित लॉरेंज फैक्टर है। यह \hat{x} दिशा में लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन गैलीलियन ट्रांसफॉर्मेशन को सरल बनाता है जब v_{ss^\prime_x} \ll c।

गैलीलियन ट्रांसफॉर्मेशन की तरह, एक समरूपता होती है जो रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन की गणना को सरल बनाती है, बस शर्तों की अदला-बदली करके और यह ध्यान में रखते हुए कि \beta_{ss^\prime_x} = -\beta_{s^\prime s_x}:

\begin{array}{rl} ct &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct^\prime + \beta_{ss^\prime_x} x^\prime),\\ x &= \gamma_{ss^\prime_x}(x^\prime + \beta_{ss^\prime_x} ct^\prime),\\ y &= y^\prime, \\ z &= z^\prime. \end{array}

मिंकॉव्स्की का स्पेसटाइम

लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन से पता चलता है कि समय और स्थान के निर्देशांक स्वाभाविक रूप से जुड़े हुए हैं। यह संबंध ct और x के बीच की समरूपता में विशेष रूप से स्पष्ट है। दो घटनाओं पर विचार करते हुए, A और B, निर्देशांक के साथ (ct_A, x_A, y_A, z_A) और (ct_B, x_B, y_B, z_B)। फ्रेम S में, हम द्वितीयक दूरी को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित करते हैं:

\begin{array}{rl} \Delta s^2 &= c^2(t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \end{array}

स्पेसटाइम दूरी, \Delta s, निम्नलिखित रूप में लिखी जाती है \Delta s = \sqrt{c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)}। यहाँ, \Delta t एक समय लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है और \Delta r = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} एक स्थान लंबाई है।

मिंकॉव्स्की का स्पेसटाइम, इस स्पेसटाइम दूरी \Delta s की धारणा से विशेषता है, विशेष सापेक्षता में मूलभूत है। इसे हर्मन मिंकॉव्स्की द्वारा प्रस्तुत किया गया था और यह लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन के तहत स्थिर रहने के कारण समय और स्थान के निर्देशांकों से अलग है।

\Delta s = \Delta s^\prime

इस मॉडल में, समय और स्थान एक चार-आयामी सततता में मिलते हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति के विपरीत, मिंकॉव्स्की स्पेसटाइम की ज्यामिति उसके स्थानिक घटकों में नकारात्मक संकेतों के कारण छद्म यूक्लिडियन है। हालांकि, एक स्थिर समय t के लिए, मिंकॉव्स्की की स्थानिक ज्यामिति यूक्लिडियन रहती है।

लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन के साथ स्थान, समय और स्पेसटाइम की लंबाइयों का क्या होता है?

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, स्पेसटाइम लंबाइयाँ \Delta s लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन के तहत स्थिर रहती हैं, लेकिन इसके अलावा, समय और स्थान की लंबाइयाँ, अलग-अलग, इन ट्रांसफॉर्मेशन के तहत बदल जाती हैं। हम आगे इन तथ्यों के कदम दर कदम प्रदर्शन करेंगे।

पहले, हम उन घटनाओं A औरB को याद करते हैं जो शुरू में सिस्टम S के सापेक्ष अपनी स्पेसटाइम निर्देशांक के साथ विचार की गई थीं:

• घटना A: (ct_A,x_A, y_A, z_A)
• घटना B: (ct_B,x_B, y_B, z_B)

इन विकासों के लिए, हम मानक कॉन्फ़िगरेशन में सिस्टम S और S^\prime के लिए लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करेंगे जहां S^\prime \vec{v}_{ss^\prime_x}= v_{ss^\prime_x} \hat{x} = \beta_{ss^\prime_x}c \hat{x} की गति से S के सापेक्ष गति कर रहा है

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

शुद्ध समय लंबाई के लिए विकास

मान लीजिए कि घटनाएँ A और B, जिन्हें S फ्रेम से देखा गया है, केवल समय से अलग हैं, जैसे एक घड़ी की टिक-टिक। इस मामले में, टिक-टिक के बीच का समय इस प्रकार गणना किया जाएगा:

c\Delta t = c(t_B - t_A)

दूसरी ओर, S^\prime से देखी गई समान जोड़ी घटनाओं के बीच का समय विभाजन होगा:

c\Delta t^\prime = c(t^\prime_B - t^\prime_A)

ये समय विभाजन लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन के माध्यम से इस प्रकार जुड़े होते हैं:

\begin{array}{rl} c\Delta t^\prime &= c(t^\prime_B - t^\prime_A) \\ \\ &= ct^\prime_B - ct^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B) - \gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x \end{array}

अब, क्योंकि घटनाएँ A और B S के फ्रेम में समय से अलग हैं, हमारे पास \Delta x = 0 है। इसलिए:

\boxed{\Delta t^\prime = \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t}

महत्वपूर्ण है कि:

\gamma_{ss^\prime_x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2_{ss^\prime_x}}} \in [1, +\infin[

यह इसलिए है क्योंकि \beta^2_{ss^\prime_x} = \dfrac{v^2_{ss^\prime_x}}{c^2} \in [0,1[।

सरल शब्दों में, यदि S में एक पर्यवेक्षक एक समय अंतराल \Delta t को एक घड़ी की टिक-टिक के रूप में मापता है, तो S^\prime में एक पर्यवेक्षक इस समान अंतराल को \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t के रूप में मापेगा, जो \Delta t से बड़ा या बराबर होगा। इस प्रभाव को समय विस्तार के रूप में जाना जाता है, यह दिखाता है कि समय कैसे \beta_{ss^\prime_x} गति बढ़ाव का अनुभव करने वाले जड़त्वीय फ्रेमों के बीच विस्तारित होता है। इसलिए, समय का बीतना सभी जड़त्वीय पर्यवेक्षकों के लिए समान नहीं है, जो यह साबित करता है कि समय की लंबाइयाँ लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन के तहत स्थिर नहीं हैं।

शुद्ध स्थान लंबाई के लिए विकास

मान लीजिए कि घटनाएँ A और B केवल स्थान से अलग हैं, जैसे एक रूलर के अंत। हम यह मान लेते हैं, बिना सामान्यता को खोए, कि यह रूलर S के \hat{x} अक्ष के साथ संग्रहीत है। तो, हमारे पास होगा:

\Delta x = x_B - x_A[/

S^\prime के फ्रेम से देखा गया यह स्थानिक विभाजन होगा:

\Delta x^\prime = x^\prime_B - x^\prime_A

लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन को लागू करते हुए, हम दोनों अवलोकनों के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं:

\begin{array}{rl} \Delta x^\prime &= x^\prime_B - x^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B) - \gamma_{ss^\prime}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime} \Delta x - \gamma_{ss^\prime}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t \end{array}

क्योंकि घटनाएँ A और B S के फ्रेम में एक साथ होती हैं, हम यह समझ सकते हैं कि \Delta t = 0 है, इसलिए:

\boxed{\Delta x^\prime = \gamma_{ss^\prime} \Delta x}

उदाहरण के लिए, यदि हम एक रूलर l_0 को एक ट्रेन के वैगन में रखते हैं (पर्यवेक्षक S^\prime), जो हमारे सापेक्ष (पर्यवेक्षक S) गति कर रही है, और रूलर गति दिशा के साथ संग्रहीत है, तो देखा गया लंबाई होगी:

\begin{array}{rl} & l_0 = \gamma_{ss^\prime} l \\ \\ \equiv & l = \dfrac{l_0}{\gamma_{ss^\prime}} \leq l_0. \end{array}

इसका मतलब है कि हम रूलर की लंबाई को वास्तविकता में जितना है उससे छोटा देखेंगे। इस घटना को लॉरेंज संकुचन के रूप में जाना जाता है और यह दिखाता है कि स्थानिक अंतराल लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन के तहत संरक्षित नहीं हैं।

स्पेसटाइम लंबाई के लिए विकास

शुद्ध समय और शुद्ध स्थान की लंबाइयों के परिवर्तन का विश्लेषण करने के बाद, हम अब स्पेसटाइम लंबाइयों के व्यवहार की जाँच करते हैं। याद रखें कि एक स्पेसटाइम लंबाई, जिसे S^\prime के पर्यवेक्षक द्वारा घटनाओं A और B के लिए देखा गया है, इस प्रकार व्यक्त की जाती है:

\begin{array}{rl} \Delta s^\prime &= \sqrt{c^2\Delta t^{\prime 2} - (\Delta x^{\prime 2} + \Delta y^{\prime 2} + \Delta z^{\prime 2})} \\ \\ &= \sqrt{c^2 (t^{\prime 2}_B - t^{2}_A) - \left[(x^{\prime 2}_B - x^{2}_A) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right]} \end{array}

आगे, हम देखेंगे कि जब S^\prime के पास S के सापेक्ष \beta_{ss^\prime_x} की गति बढ़ाव है, तो लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन लागू करने के बाद ये लंबाइयाँ कैसे संबंधित होती हैं।

\color{black} \begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= (c^2 t^{2}_B - c^2 t^{2}_A) - \left[(x^{2}_B - x^{2}_A) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right] \\ \\ \\ &= \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)\right]^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \left( \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)\right]^2 \right) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}^2 (ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)^2 + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_B^2 \color{black} - \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_B x_B} + \color{green}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_B^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_A^2\color{black} + 2 \cancel{\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_A x_A} - \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_A^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{green} \gamma_{ss^\prime_x}^2x_B^2 \color{black} + \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_B x_B} - \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_B^2 \color{black}+ \cdots \\ \\ & \cdots + \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2x_A^2\color{black}- \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_A x_A} + \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ \end{array}

अंत में, ध्यान रखें कि \gamma_{ss^\prime_x}^2 = 1/(1-\beta_{ss^\prime_x}^2), हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:

\begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= c^2 t_B^2 - c^2 t_A^2 - x_B^2 + x_A^2 - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ &= c^2 (t_B^2 - t_A^2) - \left\{ (x_B^2 - x_A^2) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ &= c^2 \Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \\ \\ &= \Delta s^2 \end{array}

इससे, हमने यह साबित किया है कि, शुद्ध समय और स्थान की लंबाइयों के विपरीत, स्पेसटाइम की लंबाइयाँ लॉरेंज ट्रांसफॉर्मेशन के तहत स्थिर रहती हैं।