सीमाओं की गणना के लिए सैंडविच प्रमेय
सारांश:
यह कक्षा सैंडविच प्रमेय प्रस्तुत करती है, जो कि गणित में कठिन सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण है, जिसमें सरलतम फ़ंक्शंस का उपयोग किया जाता है जो ऊपरी और निचले सीमा को निर्धारित करते हैं। इसमें ग्राफ़िकल व्याख्याएँ, एक औपचारिक प्रदर्शन और व्यावहारिक उदाहरण दिए गए हैं। उद्देश्य यह है कि छात्र यह समझ सकें कि इस प्रमेय को कैसे लागू किया जाए ताकि सीमाओं की गणना अधिक कुशलता से की जा सके।
अध्ययन के उद्देश्य:
इस कक्षा को पूरा करने पर, छात्र निम्नलिखित कार्यों में सक्षम होंगे:
- समझना कि सीमाओं की गणना में सैंडविच प्रमेय कैसे सहायक होता है।
- पहचानना उन फ़ंक्शंस को जो लक्ष्य फ़ंक्शन को सीमाओं के भीतर रखने में सहायक होते हैं।
- लागू करना सैंडविच प्रमेय को कठिन सीमाओं की गणना के लिए।
- ग्राफ़िकल रूप से देखना सैंडविच प्रमेय की अवधारणा।
- औपचारिक रूप से साबित करना सैंडविच प्रमेय।
सामग्री सूचकांक:
परिचय
सैंडविच प्रमेय की ग्राफ़िकल अवधारणा
सैंडविच प्रमेय का प्रदर्शन
उदाहरण
परिचय
सैंडविच प्रमेय का लाभ यह है कि यह कुछ कठिन सीमाओं की गणना को सरलतम फ़ंक्शंस के माध्यम से आसान बना देता है। इसका नाम इस वजह से है क्योंकि, जब x\to x_0 पर किसी फ़ंक्शन की सीमा की सीधी गणना करने की बजाय, एक और फ़ंक्शंस का जोड़ा इस्तेमाल किया जाता है, जिसमें से एक ऊपर की सीमा निर्धारित करता है और दूसरा नीचे की, और उनकी सीमा x_0 पर एक समान होती है और प्राप्त करना आसान होता है। क्योंकि मूल फ़ंक्शन हमेशा इन दोनों के बीच में होता है, यह “दो ब्रेड के टुकड़ों के बीच में चीज़ की तरह” होता है।
सैंडविच प्रमेय की ग्राफ़िकल अवधारणा
वास्तव में, प्रमेय की अवधारणा बहुत सरल है। मान लें कि हमें एक कठिन सीमा की गणना करनी है
\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)
आमतौर पर, हम अपने फ़ंक्शंस के बीजगणित के सभी ज्ञान का उपयोग करते हैं इसे उस बिंदु तक सरल बनाने के लिए जहां हम इसे मूल्यांकित कर सकें। हालांकि, कभी-कभी एक अलग दृष्टिकोण अधिक कुशल होता है। मान लें कि हमारे पास एक बंद अंतराल I है जिसमें x_0 \in I और इसके अलावा दो अन्य फ़ंक्शंस m(x) और M(x) हैं जो इस संबंध को संतुष्ट करते हैं
(\forall x\in I)(m(x)\leq f(x) \leq M(x) )
और इसके अलावा
\displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = \lim_{x\to x_0} M(x) = L
तो यह माना जाएगा कि
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
यह वही है जो हम निम्न चित्र में देख सकते हैं।
सैंडविच प्रमेय का प्रदर्शन
सैंडविच प्रमेय को साबित करने के लिए, हम निम्नलिखित तर्क का पालन करेंगे:
| (1) | x_0\in I; पूर्वधारणा |
| (2) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = L ; पूर्वधारणा |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_1 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_1 \rightarrow |m(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (3) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} M(x) = L ; पूर्वधारणा |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_2 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_2 \rightarrow |M(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (4) | (\forall x \in I)(m(x) \leq f(x) \leq M(x) ); पूर्वधारणा |
| (5) | (\forall x \in I)(m(x) - L \leq f(x) - L \leq M(x) - L ); (4) से |
| (6) | (|m(x) -L|\lt \epsilon) \rightarrow (-\epsilon \lt m(x) - L \lt \epsilon) |
| (7) | (|M(x) -L|\lt \epsilon ) \rightarrow (-\epsilon \lt M(x) - L \lt \epsilon) |
| (8) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( |M(x) -L| \lt \epsilon \wedge |m(x) -L| \lt \epsilon ) ); (2,3) से |
| (9) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( - \epsilon \lt f(x) - L \lt \epsilon ) ); (1,5,6,7,8) से |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow |f(x) - L| \lt \epsilon ) ) | |
| \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L\;\blacksquare |
उदाहरण
सैंडविच प्रमेय का उपयोग करके, हम फ़ंक्शंस की सीमा की गणना कर सकते हैं, भले ही हमारे पास इसका स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्ति न हो। निम्नलिखित उदाहरणों में से एक:
इसका एक उदाहरण निम्नलिखित स्थिति में दिया गया है:
- यदि \sqrt{5-2x^2}\leq f(x) \leq \sqrt{5-x^2}, जब -1\leq x\leq 1। \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x) का मान क्या है? [समाधान]
सैंडविच प्रमेय का एक और व्यावहारिक उपयोग तब होता है जब सीमा स्वयं अन्य सरल सीमाओं की तुलना में स्पष्ट नहीं होती है जो इसे ऊपर और नीचे से सीमित करती हैं, जैसे कि निम्नलिखित मामले की गणना करते समय:
- गणना करें: \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} [समाधान]