सिग्मा-बीजगणित क्या है? परिभाषाएँ और उदाहरण

प्रकाशित किया गया द्वारा giorgio.reveco
सिग्मा-बीजगणित क्या है? परिभाषाएँ और उदाहरण

सिग्मा-बीजगणित क्या है? परिभाषा और उदाहरण

सारांश
इस कक्षा में प्रायिकता सिद्धांत में सिग्मा-बीजगणित के महत्व पर चर्चा की जाती है। सिग्मा-बीजगणित एक संरचना है जो एक नमूना स्थान की सभी मापनीय घटनाओं को समावेश करती है, जिससे प्रायिकता के माप को परिभाषित किया जा सकता है। सिक्के की फेंक और एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण के जीवनकाल के व्यावहारिक उदाहरणों के माध्यम से, यह समझाया जाता है कि सिग्मा-बीजगणित को नमूना स्थान के भागों से कैसे निर्मित किया जाता है। बोरेल की सिग्मा-बीजगणित भी प्रस्तुत की जाती है, जो निरंतर नमूना स्थान से जुड़ी होती है, और इसकी बोरेलियन घटनाओं को समझाया जाता है।


सीखने के उद्देश्य:
इस कक्षा को पूरा करने पर छात्र सक्षम होंगे:

  1. समझना सिग्मा-बीजगणित की परिभाषा और विशेषताएं, जैसे गणितीय संरचना जो प्रायिकता के माप को परिभाषित करने की अनुमति देती है।
  2. पहचानना सिग्मा-बीजगणित के तत्वों को और उनका संबंध एक नमूना स्थान की मापनीय घटनाओं के साथ।

विषय-सूची
सिग्मा-बीजगणित की परिभाषा
सिक्कों की फेंक में सिग्मा-बीजगणित
निरंतर मामलों में सिग्मा-बीजगणित

प्रायिकता स्थान में मापनीय घटनाएं सिग्मा-बीजगणित के माध्यम से आती हैं। इस विचार के माध्यम से एक प्रारंभिक अंतर्ज्ञानात्मक अवधारणा को एक औपचारिक रूप से गणितीय संरचना में बदला जाता है जो प्रायिकता के माप को परिभाषित करने की अनुमति देगी।

सिग्मा-एल्जेब्रा की परिभाषा

एक सिग्मा-एल्जेब्रा \Sigma (या σ-एल्जेब्रा) एक ऐसी संरचना है जो एक नमूना स्थान की सभी मापनीय घटनाओं को सम्मिलित करती है। यह कहा जाता है कि युग्म \Sigma_{\Omega} = (\Omega, \mathcal{A}_{\Omega}) एक नमूना स्थान \Omega का σ-एल्जेब्रा है यदि निम्नलिखित मानदंड पूरे होते हैं:

  1. \emptyset,\Omega \in \mathcal{A}_\Omega
  2. \left(E \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E^c = \Omega\setminus E \in \mathcal{A}_\Omega)
  3. \left(E_1, E_2 \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E_1 \cup E_2 \in \mathcal{A}_\Omega)

सभी वस्तुएँ E\in\mathcal{A}_\Omega को \Omega की घटनाएँ कहा जाता है।

सिक्के उछालने में सिग्मा-एल्जेब्रा

उदाहरण 1
एक सिक्का उछालने के लिए, σ-एल्जेब्रा \Sigma_{1m}=(\Omega_{1m}, \mathcal{A}_{1m}) निम्नलिखित प्रकार से दिया जाता है:

  • \Omega_{1m}= \{C,S\}
  • \mathcal{A}_{1m}= \{\emptyset,\{C\},\{S\}, \Omega_{1m}\}

प्रत्येक तत्व \mathcal{A}_{1m} की निम्नलिखित प्रकार से पहचान की जाती है:

  • \emptyset “न तो सिर न ही पूंछ” (यह असंभव घटना है।)
  • \{C\} “यह घटना है जब सिर आता है।”
  • \{S\} “यह घटना है जब पूंछ आता है।”
  • \Omega_{1m}= \{C,S\} “दोनों में से कोई एक, या सिर या पूंछ” (यह सुनिश्चित घटना है।)
उदाहरण 2
यदि एक के बजाय दो सिक्के उछाले जाते हैं, तो एक संभावित σ-एल्जेब्रा \Sigma_{2m}=(\Omega_{2m}, \mathcal{A}_{2m}) \Omega_{2m} के भागों से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार हमारे पास निम्नलिखित है:

  • \Omega_{2m}= \{(C,C);(C,S); (S,C); (S,S)\}
  • \mathcal{A}_{2m}=\mathcal{P}(\Omega_{2m}) = \cdots \cdots = \{\emptyset; \{(C,C)\}; \left\{(C,S)\}; \{(S,C)\}; \{(S,S)\}; \cdots \right. \cdots; \{(C,C);(C,S)\};\{(C,C);(S,C)\};\{(C,C);(S,S)\};\cdots\cdots; \{(C,S);(S,C)\};\{(C,S);(S,S)\};\{(S,C);(S,S)\};\cdots\cdots; \{(C,C);(C,S);(S,C)\};\{(C,C);(C,S);(S,S)\}\cdots \left.\cdots; \{(C,C);(S,C);(S,S)\}; \{(C,S);(S,C);(S,S)\}; \Omega_{2m}\right\}

प्रत्येक तत्व \mathcal{A}_{2m} \Omega_{2m} की एक घटना है। कुछ इस प्रकार हैं:

  • \emptyset “कोई भी परिणाम नहीं” (यह असंभव घटना है।)
  • \{(C,C)\} “लगातार दो बार सिर आता है।”
  • \{(C,S)\} “पहले सिर आता है, फिर पूंछ।”
    \vdots
  • \{(C,C);(C,S)\} “पहला सिर है, दूसरा कुछ भी हो सकता है।”
  • \{(C,C);(S,C)\} “पहला कुछ भी हो सकता है, दूसरा सिर है।”
  • \{(C,C);(S,S)\} “दोनों बार समान परिणाम आता है।”
    \vdots
  • \{(C,C);(C,S);(S,S)\} “यदि पहला पूंछ है, तो दूसरा भी पूंछ है, अन्यथा दूसरा कुछ भी हो सकता है।”
  • \{(C,C);(S,C);(S,S)\} “यदि पहला सिर है, तो दूसरा भी सिर है, अन्यथा दूसरा कुछ भी हो सकता है।”
    \vdots
  • \Omega_{2m} “कोई भी संभावित परिणाम प्राप्त होता है।” (सुनिश्चित घटना)

निरंतर मामलों में सिग्मा-एल्जेब्रास

उदाहरण 3
एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण के जीवन काल के लिए (घंटों में मापा गया), जो किसी भी समय खराब हो सकता है, σ-एल्जेब्रा \Sigma_e = (\Omega_e, \mathcal{A}_e) निम्नलिखित प्रकार से दिया जाता है:

  • \Omega_e = [0, \infty[
  • \mathcal{A}_e = \{I \; | \; I \subseteq \Omega_e \}

इस प्रकार, अंतराल I_t = ]0,t[\in\mathcal{A}_e को “इलेक्ट्रॉनिक उपकरण लगातार t घंटे तक सही ढंग से काम करता है जब तक कि यह खराब नहीं हो जाता” के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है।

निरंतर नमूना स्थान से संबंधित संभाव्यता सिग्मा-एल्जेब्रा को बोरेल σ-एल्जेब्रा के रूप में भी जाना जाता है, और इसकी घटनाओं को बोरेलियन कहा जाता है।

Views: 0

प्रातिक्रिया दे

आपका ईमेल पता प्रकाशित नहीं किया जाएगा. आवश्यक फ़ील्ड चिह्नित हैं *