संभाव्यता सिद्धांत के नमूना स्थान के बारे में जानें
सारांश
इस कक्षा में संभावना स्थान की अवधारणा को संबोधित किया गया है, जो नमूना स्थान, सिग्मा-एल्जेब्रा और संभाव्यता माप से मिलकर एक गणितीय संरचना है। नमूना स्थान की विस्तार से समीक्षा की गई है, जिसे एक यादृच्छिक प्रक्रिया की सभी संभावित स्थितियों का संग्रह माना जाता है। व्यावहारिक उदाहरणों के माध्यम से, विच्छेदीय और निरंतर नमूना स्थानों का निर्माण चित्रित किया गया है, और यह बताया गया है कि कैसे उनसे मापनीय घटनाओं का निर्माण होता है और संभाव्यता माप की गणना की जाती है। यह कक्षा संभाव्यता सिद्धांत की मूल बातों को समझने और विभिन्न क्षेत्रों में इसके आवेदन के लिए आधार स्थापित करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।
शिक्षण उद्देश्य:
इस कक्षा को पूरा करने पर विद्यार्थी सक्षम होगा:
- समझें संभावना स्थान की अवधारणा।
- पहचानें संभावना स्थान के तत्व।
- अंतर करें विच्छेदीय और निरंतर नमूना स्थानों के बीच।
- निर्माण करें विच्छेदीय और निरंतर नमूना स्थान।
विषय-सूची
संभावना स्थान
नमूना स्थानों के उदाहरण
विच्छेदीय और निरंतर नमूना स्थान
संभावना स्थान
संभावना के सिद्धांत की नींव एक वस्तु के रूप में होती है जिसे संभावना स्थान कहा जाता है। यह एक गणितीय संरचना है जिसमें शामिल हैं: (i) एक नमूना स्थान \Omega, (ii) एक सिग्मा-एल्जेब्रा \Sigma और (iii) एक संभावना माप P। संभावना स्थान का निर्माण करने के लिए हम पहले नमूना स्थान की अवधारणा की समीक्षा करेंगे।
किसी यादृच्छिक प्रक्रिया के सभी संभावित अवस्थाएँ \omega एक नॉन-खाली समूह \Omega बनाती हैं जिसे हम नमूना स्थान कहते हैं।
नमूना स्थानों के उदाहरण
| उदाहरण 1 |
| यदि हम एक सिक्का उछालते हैं, तो हमारे पास दो संभावित परिणाम होते हैं: हेड (H) और टेल (T)। इसलिए, नमूना स्थान होगा \Omega_{1m}=\{H,T\} |
| उदाहरण 2 |
| यदि पिछला प्रयोग दोहराया जाता है, लेकिन अब दो बार, तो होगा: \Omega_{2m}=\{(H,H);(H,T);(T,H);(T,T)\} यानी दो के समूह में हेड और टेल को व्यवस्थित करने के सभी संभावित तरीके। |
| उदाहरण 3 |
| 6 पक्षों वाले डाइस के फेंकने पर निम्नलिखित नमूना स्थान होता है: \Omega_{1d6}=\{1,2,3,4,5,6\} यानी उसके प्रत्येक पक्ष पर इंगित संख्या। |
| उदाहरण 4 |
| एक इलेक्ट्रिकल उपकरण की जीवनावधि (घंटों में मापी गई) का नमूना स्थान इस प्रकार होता है \Omega_{ae}=\{t\in \mathbb{R} \;|\; t\geq 0\} यानी, उपकरण की जीवनावधि एक संख्या t होती है जो अंतराल [0,+\infty[ में निहित है |
विविध और सतत नमूना स्थान
इन उदाहरणों से हम नमूना स्थानों के दो प्रकारों के बीच अंतर कर सकते हैं, ये हैं विविध और सतत। विविध नमूना स्थान वे होते हैं जो, पहले तीन उदाहरणों की तरह, सीमित समूहों द्वारा बनाए गए होते हैं, हालांकि ये अनंत और गणनीय भी हो सकते हैं (जैसे कि \mathbb{N} का कोई भी उपसमूह)। इसके विपरीत, सतत नमूना स्थान अनंत और गणनीय नहीं होते हैं; आमतौर पर ये \mathbb{R} के उप-अंतरालों के माध्यम से प्रस्तुत किए जाते हैं।
नमूना स्थान के तत्वों (संभावित अवस्थाओं) से मापन योग्य घटनाएँ (सिग्मा-बीजगणित की वस्तुएँ) निर्मित होती हैं, और इन वस्तुओं पर संभावना माप की गणना की जाती है।