1. बहुपदों का बीजगणित: परिभाषाएँ

बहुपदों का बीजगणित समझने के लिए, पहले हमें जानना होगा कि बहुपद क्या हैं। बहुपद बीजगणितीय फलन हैं। यदि x एक वास्तविक चर है, तो कहा जाता है कि फलन P(x) एक बहुपद है यदि इसे इस रूप में लिखा जा सकता है:

\displaystyle P(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n,

जहाँ n कोई गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है और सभी a_i, i\in\{1,2,3,\cdots,n\}, वास्तविक गुणांक हैं। यदि कोई k है जिससे a_k\neq 0 है और जब k\lt i होता है, तो a_i=0, तो कहा जाता है कि इस मान k को बहुपद की डिग्री कहते हैं। दूसरे शब्दों में, बहुपद की डिग्री वह सबसे बड़ी शक्ति है जो किसी गैर-शून्य गुणांक के साथ होती है।

2. बहुपदों के प्रकार

बहुपदों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है; इसीलिए, जब किसी बहुपद का उल्लेख किया जाता है, तो आमतौर पर कहा जाता है कि यह डिग्री k का बहुपद है, जब k वह सबसे बड़ी शक्ति होती है जो इस बहुपद के गैर-शून्य गुणांक के साथ होती है।

2.1. स्थिर बहुपद

यह परिवार सभी शून्य डिग्री बहुपदों और शून्य बहुपद को सम्मिलित करता है। हम कहते हैं कि कोई बहुपद शून्य डिग्री का है, यदि इसे इस रूप में लिखा जा सकता है P(x)=c, जहाँ c\neq 0. दूसरी ओर, शून्य बहुपद इस रूप में होता है P(x) = 0 और इसके लिए कोई डिग्री परिभाषित नहीं होती है।

3. बहुपदों का बीजगणित: संक्रियाएँ

बहुपद वास्तविक संख्याओं के बीजगणित से अपनी सभी गुणों को विरासत में प्राप्त करते हैं। विशेष रूप से महत्वपूर्ण गुण वितरणीय और संघीय गुण हैं।

3.1. जोड़ और घटाव

यदि P और Q दो बहुपद हैं जिनकी डिग्री n और m है, क्रमशः, जिनमें

m=n+k और 0\leq k,

तो यह होगा:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) \pm Q(x) &=\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \sum_{i=0}^m b_i x^i \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \left( \sum_{i=0}^n b_i x^i + \sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \right) \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n (a_i \pm b_i) x^i + \sum_{i=n+1}^m b_i x^i \end{array}

अर्थात, x की समान शक्तियों के साथ आने वाले गुणांक जोड़ या घटाए जाते हैं, जैसा भी हो।

उदाहरण:
यदि P(x) = 3+5x+2x^2 और Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5, तो:

P(x) + Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5

P(x) - Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5

3.2. गुणन

बहुपदों के जोड़ और घटाव के समान संदर्भ में, बहुपदों का गुणन निम्नलिखित रूप में विकसित होगा:

पहले हम स्केलर गुणन को अलग करते हैं। यदि c \in \mathbb{R}, तो हमारे पास है:

\displaystyle c P(x) = c \sum_{i=0}^n a_i x^i =\sum_{i=0}^n c a_i x^i

और फिर हमारे पास बहुपदों के बीच गुणन होता है:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) Q(x) &\displaystyle = \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) \left(\sum_{j=0}^m b_j x^j\right) \\ \\ &=\displaystyle \left[\sum_{j=0}^m \left( \ sum_{i=0}^n a_i x^i \right) b_j x^j\right] \\ \\ &=\displaystyle \ sum_{j=0}^m \left( \ sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \right) \\ \\ &=\displaystyle \ sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j} \end{array}

यह वही है जिसे हम “सबका सबके साथ गुणन का योग” के माध्यम से सारांशित करेंगे।

उदाहरण:
यदि P(x) = 4x+ 2x^2-x^4 और Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3, तो:

P(x)Q(x) =\cdots \\ {} \\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\ {} \\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7

4. बहुपदों का विश्लेषण और विभाजन

जब हम दो बहुपदों को गुणा करते हैं, तो हम दो सरल बहुपदों से अधिक जटिल बहुपद (उच्च डिग्री वाला) प्राप्त करते हैं। जब हम किसी बहुपद का विश्लेषण करते हैं, तो हम विपरीत प्रक्रिया का अनुसरण करते हैं: हम एक जटिल बहुपद को दो या अधिक निम्न डिग्री बहुपदों के गुणनफल में बदलते हैं।

किसी बहुपद P(x), का विश्लेषण करने के लिए, यह आवश्यक है कि उन x मूल्यों को खोजा जाए जो बहुपद को शून्य बनाते हैं; यदि ऐसे मान मौजूद हैं, तो बहुपद विश्लेषणीय है। अस्तित्व की बात करना सुलभ है, लेकिन उन्हें खोजना एक अलग कहानी है। जब हम द्विघात बहुपदों और (2n)द्विघात बहुपदों के विश्लेषण का अध्ययन करेंगे, तो हम इस विषय को अधिक विस्तार से समीक्षा करेंगे।

4.1. उल्लेखनीय उत्पाद

हालांकि, ऐसे मामले होते हैं जहाँ विश्लेषण आसानी से प्राप्त होता है,
जैसे उल्लेखनीय उत्पाद। इन परिणामों में से कुछ इस प्रकार हैं:

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

4. विभाजन एल्गोरिथ्म

जैसे कि पूर्णांकों का गुणन करने से यौगिक संख्याएँ प्राप्त होती हैं और विभाजन एल्गोरिथ्म के माध्यम से विभाजन करने से जब शेषफल शून्य होता है, इसी प्रकार बहुपदों के साथ होता है। विभाजन एल्गोरिथ्म को “पाठ” में समझाना थोड़ा जटिल हो सकता है, इसे सीधे देखकर समझना और किन मामलों में एल्गोरिथ्म विश्लेषण की ओर ले जाता है, यह बहुत आसान है। इसे प्राप्त करने के लिए हम कुछ उदाहरणों की समीक्षा करेंगे।

उदाहरण: निम्नलिखित मामलों के लिए P(x):Q(x) की गणना करें:

1. P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1, Q(x)=x-1 [समाधान]
2. P(x)=x^4+2x^3-x+1, Q(x)=x^2-4 [समाधान]
3. P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1, Q(x)=x^2+x+1 [समाधान]
4. P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1, Q(x)=x^3-2x^2+1 [समाधान]