सारांश:
इस कक्षा में एक वास्तविक चर वाले कार्यों की सीमा की औपचारिक परिभाषा की गहराई से समीक्षा की जाती है, और इसके आधार पर सीमाओं के बीजगणित की प्रमुख गुणों को प्रदर्शित किया जाता है।

शिक्षण उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत में छात्र सक्षम होगा:

• एक वास्तविक चर वाले कार्यों की सीमा की याद दिलाना।
• सिद्ध करना कि \epsilon-\delta की सहायता से सीमाओं के बीजगणित को कैसे सिद्ध किया जा सकता है।
• सीमाओं के बीजगणित और इसकी गुणों का उपयोग करके वास्तविक चर वाले कार्यों की सीमाओं की गणना करना।

परिचय

<क्या बीजगणित और ज्यामिति का अध्ययन गणित से कैसे भिन्न है? इस प्रश्न का उत्तर हमें सीमा की अवधारणा से मिलता है। इस लेख में सीमा और इसकी परिभाषा का अध्ययन किया गया है।

सीमा शब्द को आमतौर पर हम किसी प्रकार की सीमा से जोड़ते हैं, जैसे कि किसी अंतराल के सिरों a, b की सीमा (इनकी प्रकृति की परवाह किए बिना)

[a,b[\;\; ;\;\; ]a,b]\;\; ; \;\; ]a,b[\;\; ; [a,b] ,

या वर्तमान की तरह, जिसे हम कह सकते हैं कि यह अतीत और भविष्य के बीच की सीमा है। इसी तरह, सीमा की अवधारणा हमें इस सहज धारणा को गणितीय रूप में समझने की अनुमति देती है कि हम किसी विशेष बिंदु के जितना चाहें उतना करीब पहुँच सकते हैं।

एक ग्राफिक दृष्टिकोण से एक कार्य की सीमा की सहज धारण

सीमा की धारणा को समझने के लिए, यह एक ग्राफिक प्रतिनिधित्व से शुरू करना उचित है और पूछना कि जब f(x) के साथ क्या होता है जब x x_0 के जितना करीब हो सके जाता है।

यदि x x_0 के पास है, तो एक खुले अंतराल का अस्तित्व होगा जिसका रेडियस \delta और केंद्र x_0 है, जिसमें x होगा। हम इसे तीन अलग-अलग रूपों में दर्शा सकते हैं:

|x-x_0|\lt \delta,

|x\in]x_0 - \delta , x_0 + \delta[ ,

या फिर x\in\mathcal{B}(x_0,\delta)

हमारे संदर्भ में, ये तीनों तरीके एक ही बात को कहते हैं; हालांकि अंतिम तरीका, जिसे “केंद्र x_0 और रेडियस \delta की खुली गेंद में x के रूप में पढ़ा जाता है, एक टोपोलॉजी पाठ्यक्रम के लिए अधिक उपयुक्त हो सकता है, जहाँ इस “निकटता के विषय” पर अधिक गहराई से विचार किया जाएगा।

यदि ऐसा होता है, तो हम देखेंगे कि केंद्र l और रेडियस \epsilon के साथ एक अन्य खुले अंतराल का अस्तित्व होगा जिसमें f(x) शामिल होगा, अर्थात: |f(x) - l|\lt \epsilon.

यहीं से गणितीय सीमा की अवधारणा का मूल विचार उभरता है, अर्थात यह तब मौजूद होगी जब: यदि 0 \lt|x-x_0|\lt \delta, तो |f(x)-l|\lt \epsilon होगा; और यह मान l उस कार्य की सीमा होगी जब x जितना चाहें उतना x_0 के करीब जाता है।

सीमा की औपचारिक परिभाषा

जो सहज और ग्राफिक अवधारणा प्रस्तुत की गई है, उसके आधार पर हम सीमा की औपचारिक परिभाषा पर विचार कर सकते हैं। हम कहते हैं कि सीमा तब मौजूद है जब, चाहे \epsilon (यानी f(x) और l के बीच की दूरी) जो भी हो, हमेशा एक \delta होगा ताकि यदि 0 \lt|x-x_0|\lt \delta है, तो |f(x) - l|\lt \epsilon. यह विचार शुरुआत में पकड़ना मुश्किल हो सकता है और यह दुनिया भर के अधिकांश गणना छात्रों के लिए आँसू का कारण होता है, लेकिन इसे निम्नलिखित अभिव्यक्ति में संक्षेपित किया जा सकता है:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=l := \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - l|\lt \epsilon\right),

सीमाओं के गुण

सीमा की औपचारिक परिभाषा का महत्व यह है कि अब, इसके आधार पर, हम इसके गुणों को सिद्ध कर सकते हैं, चाहे वे सहज हों या अन्य गुण जो इतने सहज नहीं हैं।

आगे बढ़ने से पहले, जबकि यह सख्ती से आवश्यक नहीं है, यह अत्यधिक अनुशंसा की जाती है कि आप गणितीय तर्क की कुछ अवधारणाओं की समीक्षा करें ताकि आप आगामी प्रदर्शनों को अधिक आसानी से समझ सकें।

यदि सीमा मौजूद है, तो यह अद्वितीय है

इस गुण को सिद्ध करने के लिए, हम प्रतिवाद के द्वारा सिद्धि की तकनीक का उपयोग करेंगे। हम निम्नलिखित प्रस्थापनाओं का समूह परिभाषित करते हुए शुरुआत करेंगे:

\displaystyle\mathcal{H}= \{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\}.

इसके आधार पर हम निम्नलिखित औपचारिक प्रमाण बना सकते हैं:

इस प्रमाण से हम प्राप्त करते हैं कि, यदि दो सीमाएं मौजूद हैं, तो वे समान हैं और इसलिए, सीमा अद्वितीय है।

सीमाओं का बीजगणित

अब तक देखे गए तथ्यों के आधार पर हम सीमाओं के गणितीय विचार का मूलभूत अध्ययन करते हैं। लेकिन यह अभी भी पर्याप्त नहीं है कि हम सीमाओं के साथ गणना कर सकें। केवल एक पागल ही इसका उपयोग इस उद्देश्य के लिए करेगा। इस समस्या को हल करने के लिए, अब हम उन तकनीकों पर काम करेंगे जो हमें कुछ सीमाओं की गणना शुरू करने में मदद करेंगी।

मान लें x_0, \alpha, \beta, L, M \in \mathbb{R}, और f तथा g वास्तविक फलन हों जिनके लिए:

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L

\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) = M

तब निम्नलिखित गुण सत्य होते हैं:

फलनों के योग और अंतर की सीमा

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha L \pm \beta M

सिद्धि:

प्रस्थापनों के समूह पर विचार करें \displaystyle\mathcal{H}=\left\{\lim_{x\to x_0} f(x) = L, \lim_{x\to x_0} g(x) = M \right\}, तब इसके आधार पर हम निम्नलिखित तर्क कर सकते हैं:

फंक्शनों के गुणनफल की सीमा

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left( f(x) g(x) \right) = L M

यह सिद्धि पिछले वाली से थोड़ी अधिक कठिन है, लेकिन यह कुछ ट्रिक्स की मदद से हल की जा सकती है। पिछले सिद्धांत के समान \mathcal{H} के साथ हम निम्नलिखित तर्क कर सकते हैं:

स्थिर फलन की सीमा

स्थिर फलन की सीमा f(x)=c, स्थिरांक c है। अर्थात्

\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c

प्रमाण

इसका प्रमाण वास्तव में सरल है, क्योंकि यह एक तात्त्विक सत्य है। पहले से ही ज्ञात है कि:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |c-c|\lt \epsilon)

लेकिन यह होता है कि 0=|c-c|\lt \epsilon एक तात्त्विक सत्य है हर सकारात्मक एप्प्सिलॉन के लिए, इसलिए यह निहितार्थ भी तात्त्विक सत्य है और परिणामस्वरूप, \displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c भी एक तात्त्विक सत्य है।

फलनों के अनुपात की सीमा

अब हम दो फलनों के अनुपात की सीमा के नियम को साबित करने के लिए तैयार हैं। यह है

\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L}{M}

जहाँ, पिछली गुणों की तरह, हम यह मानते हैं कि निम्नलिखित पूर्वधाराएँ पूरी होती हैं:

\displaystyle \mathcal{H}=\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}g(x) = M\}

प्रमाण

सौभाग्य से, हमें पहले किए गए प्रमाणों जैसे और प्रमाण नहीं करने होंगे, क्योंकि अब हम सीधे उन परिणामों का उपयोग कर सकते हैं। लेकिन इससे पहले, हम सबसे पहले यह साबित करेंगे कि

\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}

यह साबित करने के लिए उत्पाद की सीमा और स्थिर फलन की सीमा के नियम का उपयोग करना पर्याप्त है, बस हमें इस बात का ध्यान रखना चाहिए कि g(x) शून्य नहीं होनी चाहिए:

\displaystyle 1 = \lim_{x\to x_0}\left( 1 \right) \lim_{x\to x_0}\left( g(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = \lim_{x\to x_0}g(x) \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = M \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)}

इसलिए: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}

अंत में, उत्पाद की सीमा के नियम के अनुसार:

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} f(x) \frac{1}{g(x)}= L \cdot\frac{1}{M} = \frac{L}{M}

यह मान तब सही होगा जब M शून्य न हो।

प्राकृतिक घातांक की सीमा

यह गुण हमें बताती है कि, यदि \displaystyle \lim_{x_0 \to x_0}f(x) = L, तब यह मान्य होगा कि \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right)। इसे हम गणितीय निदर्शन द्वारा सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमाण:

• मामला n=1: (प्रारंभिक चरण)

  \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^1 = \lim_{x\to x_0} f(x) = L. यह प्रारंभिक चरण को पूरा करता है ✅

• मामला n=k: (निदर्शन चरण)

  मानते हुए कि \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^k = L^k (निदर्शन की परिकल्पना) मान्य है, हम देखेंगे कि \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L^{k+1} भी मान्य है।

  इसमें: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = \lim_{x\to x_0} \{f(x) [f(x)]^k\} = \lim_{x\to x_0}f(x) \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k}। यह अंतिम परिणाम ऊपर दिए गए उत्पाद के सीमा के नियम पर आधारित है।

  इसके बाद, निदर्शन की परिकल्पना से यह होगा \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L\cdot L^k = L^{k+1}. यह निदर्शन चरण को पूरा करता है ✅

• इसलिए: \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right).

n-वीं जड़ की सीमा

घातांक की तरह ही यह मान्य होगा कि \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \right)

प्रमाण:

ऊपर सिद्ध किए गए घातांक के नियम का उपयोग करके हम पाते हैं कि

\displaystyle L= \lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} \left[\sqrt[n]{f(x)}\right]^n = \left[ \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)}\right]^n

इसलिए: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} =\sqrt[n]{L}.

भिन्नात्मक घातांकों की सीमा

पिछले दो प्रमाणों के संयोजन से हम अपने अंतिम प्रमाण पर पहुँचते हैं, यह है: \displaystyle \left(\forall p,q\neq 0 \in \mathbb{Z}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left[f(x)\right]^{\frac{p}{q}} = L^{\frac{p}{q}} \right). , जो उत्पाद के नियम के आधार पर सिद्ध होता है क्योंकि \displaystyle [f(x)]^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{f(x)}]^p और \displaystyle L^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{L}]^p.

सीमा \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0

इस प्रमाण के साथ हम इस प्रमाण शृंखला को समाप्त करते हैं, इसके साथ और पिछले प्रमाणों के साथ हम आगे बहुत सारे सीमाओं की गणना लगभग सहज रूप से कर पाएँगे।

यह प्रमाणित करना सरल है कि \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0, क्योंकि इसके सत्यापित होने के लिए यह आवश्यक है कि

(\forall \epsilon \gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt |x-x_0|\lt \delta\rightarrow |x-x_0|\lt \epsilon)

सीमा की परिभाषा के अनुसार, हर एप्प्सिलॉन के लिए कम से कम एक डेल्टा होना चाहिए जो सभी अन्य शर्तों को पूरा करता है; इसलिए, इसे सत्यापित करने के लिए केवल एक को ढूँढना पर्याप्त है कि सीमा वही है जो कहा जा रहा है। लेकिन यह वास्तव में स्पष्ट है, क्योंकि कोई भी \delta\leq\epsilon इस शर्त को पूरा करेगा। इसलिए: \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0.

सरल सीमाओं की गणना

हमने जिन प्रमेयों की समीक्षा की है उनकी मदद से हम सीमाओं की एक विस्तृत श्रृंखला का सहज रूप से हिसाब कर सकते हैं, जैसे कि हम बस फलन का मान निकाल रहे हों। यहाँ कुछ उदाहरण देख सकते हैं:

1. {}\\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2 + 4x) & = \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2) + \lim_{x\to 2}(4x) \\ \\ & = \displaystyle \left(\lim_{x\to 2} x \right)^2 + 4\lim_{x\to 2} x \\ \\ & = (2)^2 + 8 = 12 \end{array}
2. {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1}\left.\frac{(3x-1)^2}{(x+1)^3} \right. & = \displaystyle \frac{(3(1)-1)^2}{((1)+1)^3} \\ \\ & = \displaystyle \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{array}
3. {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{x^2 - 4} &= \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{x+2} = \dfrac{1}{4} \end{array}
4. {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} &= \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 -x^3}{h} \\ \\ & = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{3x^3 h + 3xh^2}{h} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{h\to 0} 3x^2 + 3xh = 3x^2 \end{array}
5. {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } &=\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x^2 + 3) - 4 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{x^2 -1 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x-1)(x+1) } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{ x+1 } \\ \\ & =\displaystyle \frac{2+2}{2} =2 \end{array}