रैखिक चर और संभाव्यता वितरण
सारांश
यह कक्षा रैखिक चर और संभाव्यता वितरण के अवधारणाओं में गहनता प्रदान करती है, जो संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी विश्लेषण के मौलिक स्तंभ हैं। इसमें एक रैखिक चर को एक संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम पर निर्भर करता है। इसमें एक रैखिक चर की वितरण कार्य का विश्लेषण किया जाता है, इसके महत्व को उजागर करते हुए, साथ ही इसके मौलिक गुणधर्मों को। अंत में, रैखिक चर और संभाव्यता वितरण के बीच के संबंध का विश्लेषण किया जाता है, समझाते हुए कि दो चर एक ही वितरण हो सकते हैं लेकिन एक ही रैखिक चर नहीं।
सीखने के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत में, छात्र सक्षम होंगे:
- समझें रैखिक चर की अवधारणा: छात्र यह वर्णन और समझा सकेंगे कि रैखिक चर क्या हैं और उन्हें गणितीय रूप से कैसे परिभाषित किया जाता है।
- समझें संभाव्यता वितरण की अवधारणा: छात्र यह समझा सकेंगे कि संभाव्यता वितरण क्या हैं और उन्हें कैसे निरूपित किया जाता है।
- वर्णन करें संभाव्यता वितरण के गुणधर्म: छात्र संभाव्यता वितरण के मुख्य गुणधर्मों को पहचान और वर्णन कर सकेंगे।
- विश्लेषण करें रैखिक चर और संभाव्यता वितरण के बीच संबंध: छात्र यह समझ सकेंगे कि रैखिक चर और संभाव्यता वितरण कैसे परस्पर संबंधित हैं, और कैसे दो चर एक ही वितरण हो सकते हैं लेकिन एक ही रैखिक चर नहीं।
- प्रदर्शित करें और व्यावहारिक स्थितियों में संभाव्यता वितरण के गुणधर्मों को लागू करें: छात्र गणितीय रूप से संभाव्यता वितरण के गुणधर्मों को प्रदर्शित कर सकेंगे और इन गुणधर्मों को वास्तविक स्थितियों में लागू कर सकेंगे।
- समझें वितरण कार्य की अवधारणा: छात्र यह वर्णन कर सकेंगे कि वितरण कार्य क्या है और इसका उपयोग एक रैखिक चर को वर्णन करने के लिए कैसे किया जाता है।
विषय-सूची:
रैखिक चर क्या हैं?
संभाव्यता वितरण क्या हैं?
संभाव्यता वितरण के गुणधर्म
रैखिक चर और संभाव्यता वितरण के बीच संबंध
संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी विश्लेषण के मुख्य अवधारणाओं में से एक रैखिक चर और संभाव्यता वितरण हैं। हालांकि, जो सिद्धांत हमने अब तक विकसित किया है, वह एक अर्थ में “पूर्ण” है, वास्तविकता यह है कि वर्तमान स्थिति में यह काफी आदिम है; रैखिक चर और संभाव्यता वितरण, ऐसे अवधारणाएं हैं जो हमें संभाव्यता के साथ काम करने और सांख्यिकी विश्लेषण करने की क्षमता को “तेल” लगाने की अनुमति देती हैं।
रैखिक चर क्या हैं?
रैखिक चर की अवधारणा से परिचित होने के लिए, यह उपयोगी होता है कि हम एक सहज दृष्टिकोण से शुरू करें: एक रैखिक चर को “एक संख्या जो एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम पर निर्भर करती है” के रूप में समझा जा सकता है। हालांकि, एक अधिक सटीक समझ के लिए, इसका औपचारिक परिभाषा का भी अन्वेषण करना महत्वपूर्ण है। आइए इस परिभाषा को देखें:
परिभाषा: एक रैखिक चर किसी सेट \mathcal{X} पर एक फलन f:\Omega \longmapsto \mathcal{X} है |
सबसे सामान्य मामला तब होता है जब \mathcal{X}= \mathbb{R}, और जब तक अन्यथा निर्दिष्ट नहीं किया जाता, हम इसे मान लेंगे; यानी, हम वास्तविक मान वाली रैखिक चर के साथ काम करेंगे। आमतौर पर, रैखिक चर को बड़े अक्षरों से निरूपित किया जाता है, जैसे X,Y,Z, \cdots,, जबकि स्थिरांक को छोटे अक्षरों से निरूपित किया जाता है। सरलता के लिए, हम रैखिक चर को केवल “चर” कहेंगे।
उदाहरण: मान लीजिए कि 6 पक्षों वाला एक पासा दो बार फेंका गया है। तब हमें यह मिलेगा: \Omega_{2d6} = \{(\omega_1, \omega_2)\;|\; \omega_1,\omega_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}\} इससे, हम निम्नलिखित रैखिक चर परिभाषित कर सकते हैं:
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संभाव्यता वितरण क्या हैं?
परिभाषा: एक वितरण कार्य (या “FD”) एक रैखिक चर X का एक फलन F_X: \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R} है, जो संबंध F_X(x) = P(\{\omega \;|\; X(\omega)\leq x\}), द्वारा परिभाषित है, या संक्षेप में: P(X\leq x). |
आम तौर पर, एक रैखिक चर का विश्लेषण करने में उसकी स्पष्ट अभिव्यक्ति एक नमूना स्थान \Omega में उतनी महत्वपूर्ण नहीं होती जितनी कि उसकी वितरण कार्य होती है। F_X में X सबस्क्रिप्ट को छोड़ा जा सकता है यदि संदर्भ स्पष्ट है और कोई अस्पष्टता नहीं है। यह दर्शाने के लिए कि रैखिक चर X का वितरण कार्य F है, अक्सर X\sim F नोटेशन का उपयोग किया जाता है।
संभाव्यता वितरण के गुणधर्म
यदि F एक संभाव्यता वितरण है और a,b कोई भी वास्तविक संख्या हैं, तो निम्नलिखित गुणधर्म मान्य होंगे:
(a) a\lt b \longrightarrow [P(a\lt X \leq b) = F(b) - F(a)]
(b) a\lt b \longrightarrow F(a) \leq F(b), यानी “F बढ़ रहा है”।
(c) \displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 और \displaystyle\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0
(d) \displaystyle P(X=x)=\lim_{t\to x^+}F(t) - \lim_{t\to x^-}F(t)
(e) \displaystyle F(x)=\lim_{t\to x^+}F(t)
| प्रमाण (a) मान लीजिए A और B घटनाएं हैं \{X\leq a\} और \{X\leq b\} क्रमशः, a\lt b के साथ। यदि यह सब होता है, तो हमें मिलेगा कि A\subseteq B और इसलिए यह होगा: \color{blue}{P(a\lt X\leq b)} = P(B\setminus A) = P(B) - P(B\cap A) = P(B)-P(A) =\color{blue}{F(b) - F(a)} (b) भाग (a) से यह निकाला गया है: चूंकि P(B\setminus A)\geq 0, हमें मिलता है: F(b) - F(a) \geq 0 जो यह कहने के समान है: F(a) \leq F(b) (c) यहाँ हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि F बढ़ता है (भाग (b) में सिद्ध किया गया) और “1” के अधिकतम मान के साथ सीमित है (क्योंकि वितरण संभाव्यता के संदर्भ में परिभाषित है)। केवल इससे यह कहने के लिए पर्याप्त है कि: \displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 इसका पूरक दृष्टिकोण हमें समान परिणाम के साथ निम्नलिखित गणनाएं करने की अनुमति देता है। मान लीजिए सेट A_n=\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}. इससे यह सत्यापित करना आसान है कि, हर n के लिए, यह होगा A_{n}\subseteq A_{n+1}, \displaystyle\bigcup_{n\lt +\infty} A_n = \Omega और इसलिए, सततता संपत्ति का उपयोग करके हमें मिलेगा: \displaystyle 1=P(\Omega) = P\left( \bigcup_{n\lt +\infty} A_n \right) = \lim_{n\to +\infty} P(A_n) = \lim_{n\to +\infty} P(\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}) = \lim_{n\to +\infty} P(X\leq n)=\lim_{n\to +\infty}F(n) अर्थात: \displaystyle \color{blue}{\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1} इसके विपरीत, जब x\to -\infty के लिए, निम्नलिखित होगा: पहले सेट B_n=\{\omega\;|\;-n\lt X(\omega)\}. को परिभाषित करें। इससे यह सत्यापित होता है: \displaystyle \lim_{n \to -\infty}F(n) = \lim_{n\to -\infty} P(X\leq n) = \lim_{n\to \infty} P(X\leq -n)= 1 - \lim_{n\to \infty} P(-n \lt X) = 1 - \lim_{n\to \infty}P(B_n)) = 1 - P(\Omega) = 1-1=0 (d) इसे भाग (c) की तरह तर्कसंगत किया जाता है। इसे सेट \displaystyle C_n = \left\{x - \frac{1}{n} \leq X \leq x + \frac{1}{n}\right\} को परिभाषित करके शुरू किया जाता है। और इससे हमें मिलेगा: C_{n+1}\subseteq C_n \displaystyle \bigcap_{n\gt 0} C_n = \{X=x\} इसलिए, सततता संपत्ति का एक परिणाम का उपयोग करके हमें मिलेगा: \displaystyle P(X=x)=P\left(\bigcap_{n\gt 0} C_n \right) = \lim_{n\to \infty} P(C_n) = \lim_{x+1/n \to x^+}F\left(x+1/n\right) - \lim_{x-1/n \to x^-}F\left(x-1/n\right)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) (e) यह अंतिम मामला पिछले परिणाम से प्राप्त होता है। वास्तव में, चूंकि हमने पहले ही सिद्ध कर दिया है: \displaystyle P(X=x)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) हम लिख सकते हैं: \displaystyle \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t\to x^-}P(X\leq t)= P(X\leq x) = F(x) |
रैखिक चर और संभाव्यता वितरण के बीच संबंध
ऐसा कहा जाता है कि दो चर X और Y का समान संभाव्यता वितरण होता है यदि (\forall A\subseteq \mathbb{R})(P(X\in A) = P(Y\in A)).
एक ही नमूना स्थान \Omega पर परिभाषित दो चर X और Y समान वितरण हो सकते हैं लेकिन इसलिए वे जरूरी नहीं कि एक ही रैखिक चर हों। उदाहरण के लिए, यदि हम एक संतुलित सिक्के के फेंकने का प्रयोग मानें और X=1 का अर्थ हो हेड्स और X=0 का अर्थ हो टेल्स, हम रैखिक चर Y=1-X को परिभाषित कर सकते हैं और हमें मिलेगा कि P(X=1) = P(Y=1)=0.5, और कि दोनों का समान वितरण है, लेकिन यदि हम गणना करें कि दोनों का समान मान होने की संभावना क्या है, हमें मिलेगा P(X=Y)=0