प्रस्तावना तर्क में पूर्णता और विश्वसनीयता
सारांश
इस कक्षा में प्रस्तावना तर्क में पूर्णता और विश्वसनीयता के बीच संबंध पर चर्चा की गई है। यद्यपि प्रस्तावना तर्क में निष्कर्षण तकनीकों और सैद्धांतिकता पर व्यापक चर्चा हुई है, दोनों पहलुओं के बीच संबंध पर बहुत कम ध्यान दिया गया है। विश्वसनीयता का तात्पर्य एक तर्क प्रणाली की उस गुण से है जहां, जब भी एक अभिव्यक्ति G का निष्कर्षण अभिव्यक्तियों के एक समूह Γ से किया जा सकता है, G तदनुसार Γ का (सैद्धांतिक) परिणाम होता है। दूसरी ओर, पूर्णता का तात्पर्य एक तर्क प्रणाली की उस गुण से है जहां, यदि G एक अभिव्यक्तियों के समूह Γ का सैद्धांतिक परिणाम है, तो एक औपचारिक प्रमाण होता है जिसमें Γ को आधार मानते हुए G का निष्कर्षण किया जा सकता है। यह दिखाया गया है कि प्रस्तावना तर्क विश्वसनीय और पूर्ण है, और प्रत्येक गुण की विस्तृत व्याख्या प्रस्तुत की गई है। विशेष रूप से, यह दिखाया गया है कि प्रस्तावना तर्क के निष्कर्षण प्रणाली की संरचना से विश्वसनीयता कैसे निकाली जाती है, और पूर्णता को सरलता से कैसे निष्कर्षण किया जाता है। यह विश्लेषण यह समझने के लिए अत्यधिक महत्वपूर्ण है कि प्रस्तावना तर्क कैसे काम करता है और इसे विभिन्न ज्ञान क्षेत्रों में प्रभावी ढंग से कैसे लागू किया जा सकता है।
शिक्षण उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत तक, छात्र निम्नलिखित करने में सक्षम होंगे:
- तर्क प्रणाली में विश्वसनीयता और पूर्णता के बीच अंतर को समझें।
- विश्वसनीयता को प्रदर्शित करने के लिए Łukasiewicz के स्वयंसिद्धों के लिए सत्य सारणी लागू करें।
- यह समझाएं कि निष्कर्षण प्रमेय के सैद्धांतिक संस्करण का उपयोग करके निष्कर्षण के रूप में कैसे पुनर्लेखन किया जा सकता है।
- यह समझें कि विश्वसनीयता और पूर्णता आपस में संबंधित हैं और एक-दूसरे से निष्कर्षण किया जा सकता है।
- तर्क तंत्रों में न्यायसंगति की अवधारणा और इसके तर्कसंगत परिणामों के साथ संबंध का विश्लेषण करें।
सूचकांक
प्रस्तावना तर्क में पूर्णता और विश्वसनीयता
प्रस्तावना तर्क विश्वसनीय है
प्रस्तावना तर्क पूर्ण है
प्रस्तावना तर्क में पूर्णता और विश्वसनीयता
इस बिंदु पर, प्रस्तावना तर्क में पूर्णता और विश्वसनीयता के बारे में बात करने का समय आ गया है। ऐसा होता है कि अब तक निष्कर्षण तकनीकों और प्रस्तावना तर्क की सैद्धांतिकता पर काफी कुछ कहा जा चुका है, लेकिन इन दोनों को पूरी तरह से स्वतंत्र पहलुओं के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जिनमें कोई संबंध नहीं है। वास्तविकता पूरी तरह से विपरीत है।
विश्वसनीयता: एक ओर, जब भी अभिव्यक्ति G को अभिव्यक्तियों के एक समूह \Gamma से निष्कर्षित किया जा सकता है, तो तर्क प्रणाली को विश्वसनीय माना जाता है, इसलिए G \Gamma का (सैद्धांतिक) परिणाम होता है। |
पूर्णता: दूसरी ओर, जब G अभिव्यक्तियों के एक समूह \Gamma का सैद्धांतिक परिणाम है, तो एक औपचारिक प्रमाण मौजूद होता है जिसमें \Gamma को आधार मानकर G को निष्कर्षित किया जा सकता है। |
इन विचारों की समीक्षा करने पर हम देखेंगे कि प्रस्तावना तर्क के लिए पूर्णता और विश्वसनीयता संतुष्ट हैं।
प्रस्तावना तर्क विश्वसनीय है
प्रस्तावना तर्क की विश्वसनीयता को प्राप्त करना आसान है इसकी निष्कर्षण प्रणाली की संरचना का अवलोकन करके। यदि हम Łukasiewicz के स्वयंसिद्धों के लिए सत्य सारणी बनाते हैं, तो हम देखेंगे कि उनकी संरचना ऐसी होती है कि वे हमेशा सत्य के रूप में मूल्य देते हैं, अर्थात:
| \models (\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha)) |
| \models ((\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma))\rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta) \rightarrow (\alpha \rightarrow \gamma))) |
| \models ((\neg\beta \rightarrow \neg\alpha)\rightarrow(\alpha \rightarrow \beta)) |
इसी तरह, निष्कर्षण को \{\alpha,(\alpha\rightarrow \beta)\}\models \beta. के रूप में पुनर्लेखित किया जा सकता है, जिसे निष्कर्षण प्रमेय के सैद्धांतिक संस्करण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। वास्तव में, इस तरीके से हमें \{(\alpha\rightarrow \beta)\}\models (\alpha\rightarrow \beta), और फिर \models ((\alpha\rightarrow \beta)\rightarrow (\alpha\rightarrow \beta)), मिलता है, जो स्पष्ट रूप से एक स्पष्ट न्यायसंगति है।
प्रस्तावना तर्क पूर्ण है
प्रस्तावना तर्क की पूर्णता हमें बताती है कि, यदि B A का सैद्धांतिक परिणाम है, तो A से B का निष्कर्षण किया गया है। दूसरे शब्दों में: सभी सत्य अभिव्यक्तियों का एक प्रमाण होता है। इसे हम पूर्णता कहते हैं। इसे सरल तरीके से निष्कर्षित किया जा सकता है।
इसे सरल तरीके से निष्कर्षित किया जा सकता है। मान लें कि A से B का निष्कर्षण नहीं किया जा सकता, या कहें \neg(A\vdash B), तो निष्कर्षण प्रमेय के अनुसार यह कहने के समान है: \neg (\vdash A\rightarrow B); अब, यदि हम विश्वसनीयता का सहारा लेते हैं, तो यह \neg(\models A \rightarrow B) की ओर ले जाता है, जो निष्कर्षण प्रमेय (सैद्धांतिक संस्करण) के विपरीत के अनुसार \neg(A\models B) के बराबर है। संक्षेप में, हमें मिलता है:
\neg(A\vdash B) \Rightarrow \neg(A\models B)
जो कहने के बराबर है
(A\models B) \Rightarrow (A\vdash B)
इसका मतलब है कि, यदि A B का मॉडल है, तो A से B का निष्कर्षण किया गया है। और यदि हम संबंधित निष्कर्षण प्रमेयों का उपयोग करते हैं, तो हम प्राप्त कर सकते हैं
(\models A\rightarrow B) \Rightarrow (\vdash A \rightarrow B)
दूसरे शब्दों में: यदि कोई अभिव्यक्ति न्यायसंगति है, तो यह एक प्रमेय है; और जैसा कि हमने देखा है, प्रमेय एक प्रमाण का परिणाम होते हैं।