अनिश्चित समाकलन और समाकलन की मूलभूत तकनीकें

इस कक्षा में सबसे बुनियादी अनिश्चित समाकलों की गणना के लिए मूलभूत तकनीकों को पेश किया जाता है, साथ ही समाकलन संचालक के गुणों को भी समझाया जाता है। इसमें बहुपदों, घातांकीय, हाइपरबोलिक और त्रिकोणमितीय समाकलों की गणना शामिल है।

अध्ययन के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत में छात्र सक्षम होगा

समझना कि अनिश्चित समाकलन प्रक्रिया व्युत्पन्न की विपरीत प्रक्रिया है।
गणना करना बहुपदों और उन अभिव्यक्तियों का समाकल जो घातांकीय, हाइपरबोलिक और त्रिकोणमितीय फलनों को शामिल करती हैं।
प्रयोग करना समाकलों के गुणों को, ताकि गणना को सरल बनाने के लिए बीजगणितीय रूपांतरण किए जा सकें।

विषय-सूची
अनिश्चित समाकलों का महत्त्व
प्रतिगामी व्युत्पन्न, अनिश्चित समाकलन और फलनों की प्रारंभिक क्रियाएं
समाकलन की मूलभूत तकनीकें

अनिश्चित समाकलों का महत्त्व

अनिश्चित समाकलन कैलकुलस में एक मौलिक उपकरण है और इसका उपयोग भौतिक और गणितीय विज्ञानों में व्यापक रूप से होता है। यह किसी दिए गए फलन का प्रारंभिक फलन निकालने में सहायक होता है, जो कि वक्रों के नीचे के क्षेत्रफल, ठोस पिंडों के आयतन, संभावनाओं की गणना और भौतिकी, अभियंत्रण, सांख्यिकी तथा अर्थशास्त्र में कई अन्य अनुप्रयोगों के लिए प्रयुक्त होता है। इसके अतिरिक्त, अनिश्चित समाकलन अवकल समीकरणों को हल करने के लिए अनिवार्य होता है, जिससे यह विज्ञान और प्रौद्योगिकी के कई क्षेत्रों में अपरिहार्य बन जाता है।

प्रतिगामी व्युत्पन्न, अनिश्चित समाकलन और फलनों की प्रारंभिक क्रियाएं

यदि किसी फलन $F(x)$ का व्युत्पन्न किसी अंतराल $I$ में $f(x)$ है, तो कहा जाता है कि $F(x)$ उस अंतराल में $f(x)$ का प्रारंभिक फलन है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यदि $F(x)$ , $f(x)$ का प्रारंभिक फलन है, तो $F(x) + C$ भी प्रारंभिक फलन होगा, जहाँ $C$ कोई भी वास्तविक स्थिरांक है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

$\displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C$

स्थिरांक $C$ को समाकलन स्थिरांक कहा जाता है, और इसकी उपस्थिति यह दर्शाती है कि किसी फलन का प्रारंभिक फलन कोई एकल फलन नहीं होता, बल्कि फलनों का एक परिवार होता है: सभी उन फलनों का समूह जिनका व्युत्पन्न $f(x)$ होता है अंतराल $I$ में।

शब्द “प्रतिगामी व्युत्पन्न”, “प्रारंभिक फलन” और “अनिश्चित समाकलन” एक ही विचार को व्यक्त करने के तीन भिन्न तरीके हैं, अतः हम इन्हें एक-दूसरे के स्थान पर प्रयोग करते हैं। संक्षेप में, अनिश्चित समाकलन व्युत्पन्न के गणना की प्रक्रिया का विलोम है, और इसी विचार से इसकी मूलभूत विशेषताएँ प्राप्त होती हैं।

अनिश्चित समाकलों के मूल गुण

अनिश्चित समाकलों की गणना करने के लिए, हमें पहले कुछ बुनियादी गुणों को जानना आवश्यक है, जो कि व्युत्पन्न के गुणों से सीधे प्राप्त होते हैं।

$\displaystyle \int \dfrac{df(x)}{dx} dx = f(x) + C$
क्योंकि अनिश्चित समाकलन, व्युत्पन्न की प्रक्रिया का विलोम है।

$\displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx$
जहाँ $\lambda$ कोई भी वास्तविक स्थिरांक है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि

$\begin{array} {} \displaystyle \int \lambda \dfrac{d\phi(x)}{dx}dx &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx}\lambda \phi(x) dx \\ \\ &= \lambda \phi(x) + C_1 \\ \\ &= \lambda(\phi(x) + C_2) \\ \\ &= \lambda \displaystyle \int \frac{d\phi(x)}{dx}dx \end{array}$

और फिर, यदि $f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx}$ हो, तो हमें प्राप्त होता है:

$\displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x)dx$

$\displaystyle \int f(x) + g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$

इसे भी इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। मान लें कि दो फलन $\phi(x)$ और $\psi(x)$ हैं ऐसे कि

$f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx}$ और $g(x) = \dfrac{d\psi(x)}{dx}$

तब हमें प्राप्त होता है:

$\begin{array} {} \displaystyle \int f(x) + g(x) dx &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} + \dfrac{d\psi(x)}{dx} dx \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx} (\phi(x) + \psi(x)) dx \\ \\ &= \phi(x) + \psi(x) + C \\ \\ &= (\phi(x) + C_1) + (\psi(x) + C_2) \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} dx + \int \dfrac{d\psi(x)}{dx}dx \\ \\ &= \displaystyle \int f(x) dx + \int g(x) dx \end{array}$

समाकलन की मूलभूत तकनीकें

कुछ मूलभूत समाकलन तकनीकें होती हैं जो हमें व्युत्पन्न द्वारा प्राप्त परिणामों से कुछ अनिश्चित समाकलों की गणना करने की अनुमति देती हैं। इन तकनीकों के माध्यम से हम समाकलन के लिए निम्नलिखित उपयोगी परिणाम प्राप्त कर सकते हैं:

बहुपदीय फलनों के समाकल

$\displaystyle \int 1 dx = x + C$

क्योंकि $\dfrac{d}{dx} (x + C)= 1$
$\displaystyle \int x^q dx = \dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C,$ जब तक कि $q\neq -1$

क्योंकि $\dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C\right) = x^q.$

इन परिणामों और बुनियादी गुणों की सहायता से किसी भी बहुपद का समाकल सरलता से किया जा सकता है।

उदाहरण:

$\displaystyle \int \left( 3x+2 \right) dx = \dfrac{3}{2}x^2 + 2x + C$
$\displaystyle \int \left( 5x^2 + 2x + 3 \right) dx= \dfrac{5}{3}x^3 + x + 3x + C$
$\displaystyle \int \left( 4x^{12} - 7x^{-1/3} + 1 \right) dx$

\begin{array} {} &= \dfrac{4}{13}x^{13} - \dfrac{7}{2/3}x^{2/3} + x + C \\ \\ &= \dfrac{4}{13}x^{13} - \dfrac{21}{2}x^{2/3} + x + C \end{array}

घातांकीय और लघुगणकीय फलनों के समाकल

घातांकीय और लघुगणकीय फलनों के व्युत्पन्न से ज्ञात परिणामों से हम निम्नलिखित मूलभूत समाकल प्राप्त कर सकते हैं:

$\displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C$
क्योंकि $\dfrac{d}{dx}\left(e^x + C\right) = e^x$
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x} dx = ln|x| + C$

क्योंकि $\dfrac{d}{dx}\left(ln|x| + C \right) = \dfrac{1}{|x|} sig(x) = \dfrac{1}{x}$

जहाँ $sig(x)$ संकेत फलन है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$sig(x) = \left\{\begin{array}{} +1 &,&0\lt x \\ -1 &,& x\lt 0 \end{array}\right.$

1/x

के समाकल का यह परिणाम हमें उन फलनों को समाकलित करने की क्षमता देता है जो बहुपदों के अनुपात के रूप में व्यक्त होते हैं।

उदाहरण:

$\displaystyle \int \dfrac{x^2 + 3x + 2}{5x^2}dx = \int \dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{5}\dfrac{1}{x^2}dx$

$=\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{5}ln(x) - \dfrac{2}{5}\dfrac{1}{x} + C$

$\displaystyle \int \dfrac{x^2 - 3 x + 2}{(x-2)^2}dx = \int \dfrac{(x-2)^2 + (x-2)}{(x-2)^2} dx$

$= \displaystyle \int 1 + \dfrac{1}{x-2} dx\\ \\ = x + \displaystyle \int \dfrac{1}{x-2}dx = x + ln|x-2| + C$

क्योंकि
$\dfrac{d}{dx}\left( ln|x-2| + C\right) = \dfrac{1}{|x-2|}sig(x-2) = \dfrac{1}{x-2}$

मूलभूत हाइपरबोलिक फलनों के समाकल

मूलभूत हाइपरबोलिक फलन हैं:

$\begin{array} {} sinh(x) &=& \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \\ cosh(x) &=& \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \end{array}$

चूंकि हम पहले ही घातांकीय फलनों के समाकल देख चुके हैं, इसलिए हाइपरबोलिक साइन और कोसाइन के समाकल में कोई कठिनाई नहीं है।

हाइपरबोलिक साइन के लिए समाकल लगभग प्रत्यक्ष होता है:

$\begin{array} {} \displaystyle \int sinh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx - \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x + e^{-x} \right) + C = cosh(x) + C \end{array}$

और हाइपरबोलिक कोसाइन के लिए, गणना लगभग समान है:

$\begin{array} {} \displaystyle \int cosh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx + \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x - e^{-x} \right) + C = sinh(x) + C \end{array}$

इनके अलावा कई अन्य हाइपरबोलिक फलन हैं जिन्हें समाकलित किया जा सकता है:

$\begin{array} {} tanh(x) &=& \dfrac{sinh(x)}{cosh(x)} \\ sech(x) &=& \dfrac{1}{cosh(x)} \\ {}csch(x) &=& \dfrac{1}{sinh(x)} \\ ctgh(x) &=& \dfrac{1}{tanh(x)} \end{array}$

हालांकि, इनके समाकलन के लिए अन्य तकनीकों की आवश्यकता होगी जिन्हें हम आगामी कक्षाओं में देखेंगे।

मूलभूत त्रिकोणमितीय फलनों के समाकल

मूलभूत त्रिकोणमितीय फलन हैं $sin(x)$ और $cos(x)$ । इनके समाकल उनकी व्युत्पन्न से सीधे ज्ञात किए जा सकते हैं।

$\begin{array} {} \displaystyle \int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \\ {} \displaystyle \int cos(x) dx = sen(x) + C \end{array}$

ऐसा इसलिए है क्योंकि

$\begin{array} {} \dfrac{d}{dx}\left( sin(x) + C \right) &=& cos(x) \\ \\ {} \dfrac{d}{dx}\left( cos(x) + C \right) &=& -sin(x) \\ \\ \end{array}$

निष्कर्ष

इस कक्षा में हमने अनिश्चित समाकलों को उनके सैद्धांतिक मूलों से लेकर उनके सबसे बुनियादी व्यावहारिक अनुप्रयोगों तक देखा। हमने उन्हें व्युत्पन्न की प्रक्रिया के विलोम के रूप में पहचानना सीखा, उनके मूल गुण पहचाने और सीधे तकनीकों के माध्यम से बहुपदीय, घातांकीय, लघुगणकीय, हाइपरबोलिक और त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन करना सीखा। ये ज्ञान भविष्य में अधिक जटिल समाकलन समस्याओं को हल करने की आधारशिला रखता है, और यह भौतिकी, अभियंत्रण तथा अन्य विज्ञानों में उन्नत अनुप्रयोगों के अध्ययन के लिए आवश्यक होगा। इस बुनियादी ज्ञान के साथ हम आगामी कक्षाओं में अधिक परिष्कृत तकनीकों की ओर बढ़ सकेंगे।