परिणाम और अर्थात्मक समकक्षता
सारांश
इस कक्षा में, हम प्रस्तावित तर्कशास्त्र में परिणाम और अर्थात्मक समकक्षता का अध्ययन करेंगे, जो कि पहले से देखे गए विषयों की एक स्वाभाविक अगली कड़ी है। हम सत्य मानों के आवंटन से परिणाम की धारणा प्राप्त करने और इस विचार को निष्कर्ष के प्रमेय से कैसे जोड़ा जाता है, यह जानेंगे। इसके अलावा, हम व्यावहारिक उदाहरणों के माध्यम से सत्य सारणियों का उपयोग करके उपयोगी गुणों को प्राप्त करने के तरीके देखेंगे जैसे कि संयोजन उन्मूलन और वियोजन का परिचय। हम अर्थात्मक समकक्षता की धारणा का भी अन्वेषण करेंगे और इसे पहले से ज्ञात गुणों से कैसे संबंधित किया जाता है, यह देखेंगे। अंत में, हम देखेंगे कि मॉडल और निष्कर्ष तकनीकों के उपयोग से परिणाम और अर्थात्मक समकक्षता के समस्याओं के अध्ययन को कैसे सरल बनाया जा सकता है।
शिक्षण लक्ष्य:
इस कक्षा के अंत तक छात्र सक्षम होंगे
- समझें अर्थात्मक परिणाम की धारणा।
- समझें ⊨ प्रतीक की विभिन्न व्याख्याएं।
- समझें अर्थात्मक संस्करण में निष्कर्ष के प्रमेय का प्रदर्शन और इसका परिणाम और अर्थात्मक समकक्षता के अध्ययन में उपयोग।
- समझें अर्थात्मक समकक्षता की परिभाषा और इसका सत्य मानों से संबंध।
- लागू करें परिणाम को मान्यता समस्याओं में बदलने के लिए अर्थात्मक संस्करण में निष्कर्ष के प्रमेय का उपयोग।
- लागू करें सत्य सारणियों के उपयोग में उपयोगी गुणों का प्रदर्शन करने के लिए।
- लागू करें जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में समाहार, वितरण और डीमॉर्गन के नियम।
- विश्लेषण करें मॉडल और निष्कर्ष के बीच के संबंधों का प्रस्तावित तर्कशास्त्र के अध्ययन में।
अनुक्रमणिका
आवंटन और मॉडल
निष्कर्ष का प्रमेय (अर्थात्मक संस्करण)
अर्थात्मक परिणाम और समकक्षता के अध्ययन में निष्कर्ष के प्रमेय का उपयोग
अर्थात्मक समकक्षता और गुण
सार
परिणाम और अर्थात्मक समकक्षता का अध्ययन स्वाभाविक अगली कड़ी है जो हमने तब किया जब हमने प्रस्तावित तर्कशास्त्र की अर्थ की समीक्षा की। अब हम देखेंगे कि कैसे सत्य मानों के आवंटन से परिणाम की धारणा प्राप्त की जाती है, और कैसे इससे स्वाभाविक रूप से एक अर्थात्मक संस्करण का निष्कर्ष का प्रमेय उत्पन्न होता है। इस प्रक्रिया से हम व्यावहारिक उदाहरणों के माध्यम से सत्य सारणियों का उपयोग करके कुछ उपयोगी गुणों को प्राप्त करने का तरीका भी देखेंगे। आप इसे यूट्यूब चैनल पर भी देख सकते हैं।
आवंटन और मॉडल
सबसे पहले, हम एक परिभाषा के साथ शुरू करते हैं जो इस प्रविष्टि में देखी जाने वाली घटनाओं के लिए महत्वपूर्ण है, अर्थात्मक परिणाम की।
| परिभाषा: एक अभिव्यक्ति G दूसरी अभिव्यक्ति F का अर्थात्मक परिणाम है, यदि प्रत्येक आवंटन \mathcal{A} के लिए, यह संतोषजनक है कि \mathcal{A}\models F \Rightarrow \mathcal{A}\models G हम इसे F\models G लिखते हैं और इसे इस तरह पढ़ते हैं कि “अभिव्यक्ति F अभिव्यक्ति G का मॉडल है” या “G अभिव्यक्ति F का अर्थात्मक परिणाम है।” |
इस परिभाषा के आधार पर, हमें ध्यान देना चाहिए कि \models प्रतीक का वास्तव में विभिन्न संदर्भों में अलग-अलग अर्थ हो सकता है:
- \mathcal{A} \models F का अर्थ है कि \mathcal{A}(F) = 1; अर्थात, “\mathcal{A} अभिव्यक्ति F का मॉडल है।”
- G \models F का अर्थ है कि यदि कोई भी आवंटन G का मॉडल है, तो वह F का भी मॉडल है और हम इसे “F का परिणाम G है।”
- \models F का अर्थ है कि F किसी भी आवंटन के तहत सच होता है; अर्थात, F एक सत्यावली है।
इस प्रकार, यद्यपि \models प्रतीक के कई अर्थ हो सकते हैं, संदर्भ अस्पष्ट नहीं है।
अर्थात्मक परिणाम की धारणा पहले से देखी गई “आशय” की धारणा के निकट है, इस अर्थ में कि यदि F\models G सत्य है, तो \models (F\rightarrow G) भी सत्य है। वास्तव में, यह निष्कर्ष के प्रमेय से बहुत समानता रखता है जिसे हमने कुछ कक्षाओं पहले देखा था।
निष्कर्ष का प्रमेय (अर्थात्मक संस्करण)
[देखें]
| प्रमेय: यदि F और G कोई भी अभिव्यक्तियाँ हैं, तो F\models G \Leftrightarrow \models (F\rightarrow G) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| प्रमाण: इस प्रमेय का प्रमाण आसानी से सत्य सारणियों का अवलोकन करके प्राप्त किया जा सकता है।
यदि हम F\models G के अर्थ पर ध्यान केंद्रित करें, तो हम देखेंगे कि यह इस प्रकार कहने के समकक्ष है कि \mathcal{A}\models F \Rightarrow \mathcal{A}\models G, जो कि इस प्रकार कहने के बराबर है कि \mathcal{A}\not\models F \vee \mathcal{A}\models G। अब, यदि हम देखते हैं कि \mathcal{A}\not\models F का अर्थ है \mathcal{A}\models \neg F, तो F\models G कहने का अर्थ है \mathcal{A} \models \neg F \vee \mathcal{A}\models G। अब, यदि हम F \rightarrow G के लिए एक सत्य सारणी बनाते हैं और उस क्षेत्र को हरा चिन्हित करते हैं, जहाँ \mathcal{A} \models \neg F \vee \mathcal{A}\models G सत्य होता है, तो हम निम्नलिखित देखेंगे:
यहाँ से हमें पता चलता है कि, जब F\models G सत्य होता है, तो हमेशा \models (F \rightarrow G) सत्य होता है और इसके विपरीत, जो कि निष्कर्ष के प्रमेय और इसका विपरीत अर्थात्मक संस्करण है। |
मान लें कि हम जानना चाहते हैं कि कोई अभिव्यक्ति G किसी अन्य अभिव्यक्ति F का परिणाम है। इसे हम परिणाम समस्या कहेंगे। पिछले प्रमेय का उपयोग करके, इस समस्या को मान्यता समस्या में बदला जा सकता है, क्योंकि “G F का परिणाम है, यदि और केवल यदि (F\rightarrow G) एक प्रमेय है।”
अर्थात्मक परिणाम और समकक्षता के अध्ययन में निष्कर्ष के प्रमेय का उपयोग
सत्य सारणियों से कुछ गुणों का अनुमान लगाया जा सकता है जो पहले देखे गए गुणों की याद दिलाते हैं।
| उदाहरण: सत्य सारणियों का उपयोग करके निम्नलिखित गुणों को प्रदर्शित करें: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| संयोजन उन्मूलन: | (F\wedge G)\models F | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| वियोजन का परिचय: | F\models (F\vee G) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| विरोधाभास: | (F\wedge\neg F)\models G | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| समाधान: जिस निष्कर्ष के प्रमेय की हमने अभी समीक्षा की है, का उपयोग करके, हम परिणाम समस्या को मान्यता समस्या में बदल सकते हैं। संयोजन उन्मूलन को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित सत्य सारणी का निर्माण कर सकते हैं:
इससे हम यह साबित करते हैं कि ((F\wedge G)\rightarrow F) एक सत्यावली है और इसलिए, निष्कर्ष के प्रमेय के विपरीत का अनुसरण करते हुए, हमें मिलता है कि (F\wedge G) \models F। वियोजन का परिचय भी इसी प्रकार सत्य सारणी बनाकर हल किया जाता है:
यहाँ हम देखते हैं कि (F\rightarrow (F\vee G)) एक सत्यावली है और इसलिए, निष्कर्ष के प्रमेय के विपरीत का अनुसरण करते हुए, हमें मिलता है कि F\models (F\vee G) और अंत में, विरोधाभास की संपत्ति को भी इसी विधि का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है:
इस सत्य सारणी से हमने सिद्ध किया है कि ((F\wedge \neg F)\rightarrow G) एक सत्यावली है और इसलिए, निष्कर्ष के प्रमेय के विपरीत का अनुसरण करते हुए, हमें मिलता है कि (F\wedge \neg F)\models G। | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
अर्थात्मक समकक्षता और गुण
[देखें]
| परिभाषा: यदि दोनों और एक साथ, F\models G और G\models F सत्य होते हैं, तो कहा जाता है कि F और G एक दूसरे के अर्थात्मक समकक्ष हैं। इसे हम F\equiv G लिखते हैं। |
इस परिभाषा के परिणामस्वरूप यह पता चलता है कि दो अभिव्यक्तियाँ तब और केवल तभी अर्थात्मक समकक्ष होती हैं जब उनके सत्य मान समान होते हैं।
| उदाहरण: सत्य सारणियों का उपयोग करके निम्नलिखित सममिति के अर्थात्मक समकक्षताओं को सिद्ध किया जा सकता है: |
| (F\downarrow G) \equiv (G\downarrow F) |
| (F\vee G) \equiv (G\vee F) |
| (F\wedge G) \equiv (G\wedge F) |
| (F\leftrightarrow G) \equiv (G\leftrightarrow F) |
| (F\underline{\vee} G) \equiv (G\underline{\vee} F) |
| उदाहरण: यदि F कोई भी अभिव्यक्ति है, \top एक सत्यावली है और \bot एक विरोधाभास है, तो सत्य सारणियों का उपयोग करके निम्नलिखित अर्थात्मक समकक्षताओं को सिद्ध किया जा सकता है: |
| (F\wedge \top) \equiv F |
| (F\vee \top) \equiv \top |
| (F\wedge \bot) \equiv \bot |
| (F\vee \bot) \equiv F |
| इन समकक्षताओं को समाहार नियम कहा जाता है। |
| उदाहरण: प्रस्तावित तर्कशास्त्र के अर्थशास्त्र में, संयोजन और वियोजन के वितरण के समकक्षताएँ सत्य होती हैं: |
| (F\wedge (G\vee H)) \equiv ((F\wedge G) \vee (F\wedge H)) |
| (F\vee (G\wedge H)) \equiv ((F\vee G) \wedge (F\vee H)) |
| उदाहरण: प्रस्तावित तर्कशास्त्र के अर्थशास्त्र में, डीमॉर्गन के नियम भी सत्य होते हैं: |
| \neg(F\wedge G) \equiv (\neg F \vee \neg G) |
| \neg(F\vee G) \equiv (\neg F \wedge \neg G) |
| अभ्यास: एक अच्छा अभ्यास यह है कि सत्य सारणियों का उपयोग करके यह साबित किया जाए कि समाहार नियम, वितरण, और डीमॉर्गन के नियमों की अर्थात्मक समकक्षताएँ वास्तव में सत्य हैं। |
| उदाहरण: अर्थात्मक समकक्षताएँ का उपयोग करके निम्नलिखित समकक्षता को सिद्ध करें: ((C\wedge D) \vee A) \wedge (C\wedge D) \vee B) \wedge (E \vee \neg E))\equiv ((A\wedge B)\vee(C\wedge D)). |
| समाधान: हम इस समकक्षता को सत्य सारणियों का उपयोग करके सिद्ध कर सकते हैं, लेकिन यदि हम ऐसा करते हैं, तो हमें 5 प्रस्तावित चरों के साथ एक अभिव्यक्ति से निपटना होगा, और इसका अर्थ है कि हमें 2^5 = 32 पंक्तियों वाली सत्य सारणी बनानी होगी, और यह स्थिति आदर्श रूप से टालने योग्य होगी। इसे प्राप्त करने के लिए हम उन समकक्षताओं का उपयोग करेंगे जिन्हें हमने पहले ही दिखाया है। पहले, यह ध्यान दें कि (E\vee \neg E) एक सत्यावली है। इस सत्यावली को \top से निरूपित करें। इसके बाद समाहार नियमों का उपयोग करके हमें मिलता है: ((C\wedge D) \vee A) \wedge (C\wedge D) \vee B) \wedge (E \vee \neg E)) \equiv ((C\wedge D) \vee A) \wedge (C\wedge D) \vee B)) वितरण नियमों का उपयोग करके हमें मिलता है: ((C\wedge D) \vee A) \wedge (C\wedge D) \vee B)) \equiv ((C\wedge D) \vee (A\wedge B)) अंत में, सममिति के अनुसार: ((C\wedge D) \vee (A\wedge B)) \equiv ((A\wedge B) \vee (C\wedge D)) इस प्रकार, इन समकक्षताओं का अनुसरण करते हुए हमें मिलता है: ((C\wedge D) \vee A) \wedge (C\wedge D) \vee B) \wedge (E \vee \neg E)) \equiv ((A\wedge B) \vee (C\wedge D)) जो कि हम सिद्ध करना चाहते थे। |
सार
यदि हम इस अंतिम उदाहरण के विकास को देखते हैं, तो हम देखेंगे कि जैसे-जैसे प्रस्तावित चरों की संख्या बढ़ती है, अर्थात्मक परिणाम और समकक्षता समस्याओं का अध्ययन करते समय जटिलता तेजी से बढ़ती है यदि हम सत्य सारणियों पर निर्भर होते हैं। हालांकि, हमने देखा है कि मॉडल के विचार का विकास कुछ ऐसा उत्पन्न करता है जो पहले से विस्तृत रूप में अध्ययन की गई निष्कर्ष तकनीकों के अनुरूप है। मॉडल और निष्कर्षों के बीच के इस संबंध को हम जल्द ही देखेंगे, और इन दोनों का संयोजन अंततः तर्कशास्त्र के अध्ययन में हमें अनगिनत सिरदर्द से बचाएगा।