मूल विचार

संभावना सिद्धांत पर हमारे अध्ययन की शुरुआत करने के लिए, हमें पहले निश्चित और अनिश्चित प्रक्रियाओं के बीच के संबंध और उनके संभावनाओं और संयोग से संबंधों का पता लगाना होगा। प्रकृति में होने वाली प्रक्रियाएं दो परस्पर विरोधी प्रजातियों में वर्गीकृत की जाती हैं: या तो वे निश्चित होती हैं या अनिश्चित। एक निश्चित प्रक्रिया वह होती है जो, कुछ प्रारंभिक शर्तों के आधार पर, हमेशा समान परिणामों की ओर ले जाती है। दूसरी ओर, एक प्रक्रिया अनिश्चित होती है जब, समान प्रारंभिक शर्तों के लिए, यह कई संभावित परिणाम प्रदान कर सकती है। ये संभावित परिणाम, चाहे वे अनूठे हों या बहुत सारे हों, स्थितियाँ के रूप में जाने जाते हैं। बदले में, प्रक्रियाओं को मॉडल के माध्यम से समझने की कोशिश की जाती है, और ये मॉडल इसी तरह, निश्चित या अनिश्चित होते हैं।

यह अनिश्चित प्रक्रियाओं के संदर्भ में है जहां संभावनाओं का अध्ययन उभरता है। यह एक औपचारिक विज्ञान है (जैसे कि तर्क) जिसके माध्यम से हम यह जानकारी निकाल सकते हैं कि एक अनिश्चित प्रक्रिया किसी विशेष स्थिति या स्थितियों के समूह को कितनी बार उत्पन्न करती है।

प्रकृति में निश्चित और अनिश्चित प्रक्रियाएं

मान लीजिए हम एक प्रक्षेप्य के प्रक्षेपण की प्रक्रिया को मॉडल करना चाहते हैं। यदि हम एक नियंत्रित पर्यावरण में हैं, तो न्यूटन का यांत्रिकी हमें बताता है कि प्रत्येक गति और प्रारंभिक स्थिति के लिए, प्रक्षेप्य का प्रभाव बिंदु निश्चित होगा, जो वास्तविकता का एक निश्चित मॉडल प्रतिनिधित्व करता है। हालांकि, वास्तविक जीवन में, पूर्ण रूप से नियंत्रित पर्यावरण मौजूद नहीं होते हैं, और हम देखेंगे कि प्रक्षेप्य एक निश्चित क्षेत्र के भीतर गिरता है, जिसका अर्थ है संभावित राज्यों की एक बहुलता।

आम तौर पर कहा जाता है कि हमारी पर्यावरण और प्रारंभिक शर्तों को नियंत्रित और मापने की सीमाएं हमें किसी सिस्टम की अंतिम स्थितियों को निर्धारित करने की अनुमति नहीं देती हैं, जिससे हमें उनके साथ और अनिश्चित मॉडलों के साथ निपटना पड़ता है। जैसे-जैसे कोई प्रक्रिया जटिलता में बढ़ती है, वैसे-वैसे पर्यावरण और प्रारंभिक शर्तों पर नियंत्रण की कमी भी बढ़ती है।

संभावनाएँ और संयोग

संयोग अनिश्चित प्रक्रियाओं की एक अंतर्निहित विशेषता है। एक प्रक्रिया को यादृच्छिक या अनियमित कहा जाता है जब कुछ प्रारंभिक शर्तों के लिए, कोई भी संभावित स्थितियाँ अधिक बार होती नजर नहीं आतीं। सबसे सरल उदाहरण सिक्का उछालने का होता है। जैसे-जैसे उछालने की संख्या बढ़ती है, यह देखा जाता है कि चेहरे और पिछले हिस्से की उपस्थिति की आवृत्ति समान होने लगती है। दूसरे शब्दों में:

\displaystyle \lim_{N\to \infty} \dfrac{C}{N} = \lim_{N\to \infty} \dfrac{S}{N} = \dfrac{1}{2}

जहाँ N कुल उछालने की संख्या है, C और S N उछालने में प्राप्त चेहरे और पिछले हिस्से की संख्या हैं।

यह संख्या चेहरा या पिछला हिस्सा प्राप्त करने की संभावना है, और इसकी समझ समान संभावना वाले परिणामों वाले प्रयोगों का विश्लेषण करके प्राप्त की जाती है। यह निश्चित और अनिश्चित प्रक्रियाओं के सार और उनके संभावनाओं और संयोग के साथ संबंध का आधार है।