इसलिए, यदि 11^k - 4^k 7 से विभाज्य है, तो 11 ( 11^{k} - 4^{k} ) + 7\cdot 4^{k} भी विभाज्य होगा, जो यह कहने के समान है कि 11^{k+1} - 4^{k+1} 7 से विभाज्य है। यहाँ से हम जानते हैं कि यदि 11^k - 4^k k=1 के लिए विभाज्य है, तो यह k=2, k=3, k=4,\cdots और इसी तरह से विभाज्य होगा, और इसलिए, यह किसी भी n\in\mathbb{N}. के लिए विभाज्य होगा। जब ऐसा होता है तो हम कहते हैं कि इंडक्शन पूर्ण है। ■

प्रस्तावित तर्क में इंडक्शन द्वारा प्रमाण

जिन इंडक्शन द्वारा प्रमाणों को हम आगे करेंगे, उनके लिए पहले निम्नलिखित नोटेशन समझौते को पेश करना आवश्यक होगा।

नोटेशन: मान लें कि F_1,\cdots, F_n प्रस्तावित तर्क में किसी भी असीमित अभिव्यक्तियों का एक सेट है। इन अभिव्यक्तियों के संयोजनों और विस्थापनाओं को निम्नलिखित तरीके से प्रस्तुत किया जाता है:

\displaystyle \bigwedge_{i=1}^n F_i := F_1\wedge \cdots \wedge F_n

\displaystyle \bigvee_{i=1}^n F_i := F_1\vee \cdots \vee F_n

इसके साथ हम अब निम्नलिखित दो सामान्यीकृत रूपों का सामना कर सकते हैं।

डी मॉर्गन के नियमों का सामान्यीकृत रूप

तर्कशास्त्र के प्रस्तावित तर्क में एक सीमित सेट दिया गया है F_1,\cdots, F_n, तो निम्नलिखित दो गुण हमेशा सत्य होते हैं:

\displaystyle\neg\left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \equiv \left( \bigvee_{i=1}^n \neg F_i \right)

\displaystyle\neg\left(\bigvee_{i=1}^n F_i \right) \equiv \left( \bigwedge_{i=1}^n \neg F_i \right)

प्रमाण: पहले हम n पर इंडक्शन द्वारा साबित करेंगे कि \neg\left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \equiv \left( \bigvee_{i=1}^n \neg F_i \right)

पहले हमें देखना होगा कि प्रारंभिक मामले n=1. के साथ क्या होता है। इस मामले में, यह स्पष्ट है कि \neg F_1 \equiv \neg\left(\bigwedge_{i=1}^1F_i\right)\equiv \left(\bigvee_{i=1}^n \neg F_i \right) \equiv\neg F_1

अब मान लें कि यह गुण n=k; के लिए काम करता है, यानी कि एक सीमित अभिव्यक्तियों का सेट F_1, F_2, \cdots, F_k दिया गया है, तो यह सत्य होता है:

\displaystyle \neg\left(\bigwedge_{i=1}^k F_i\right) \equiv \left(\bigvee_{i=1}^k \neg F_i\right)

फिर हम साबित करेंगे कि यह \displaystyle \neg\left(\bigwedge_{i=1}^{k+1} F_i\right) \equiv \left(\bigvee_{i=1}^{k+1} \neg F_i\right) के लिए भी सही है।

संयोजन के परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि:

\displaystyle \neg\left(\bigwedge_{i=1}^{k+1} F_i\right) := \neg\left[\left(\bigwedge_{i=1}^{k} F_i\right) \wedge F_{k+1}\right]

इस अभिव्यक्ति पर हम डी मॉर्गन के नियमों (दो शर्तों के सामान्य नियम) का उपयोग करके प्राप्त कर सकते हैं:

\displaystyle \neg\left(\bigwedge_{i=1}^{k+1} F_i\right)\equiv \left[\neg\left(\bigwedge_{i=1}^{k} F_i\right) \vee \neg F_{k+1}\right]

अब, यदि हम इंडक्शन की परिकल्पना को लागू करते हैं, तो हम पाएंगे:

\displaystyle \neg\left(\bigwedge_{i=1}^{k+1} F_i\right)\equiv \left[ \left(\bigvee_{i=1}^k \neg F_i\right) \vee \neg F_{k+1}\right] := \left(\bigvee_{i=1}^{k+1}\neg F_i \right)

और इस कारण से इंडक्शन पूर्ण है और गुण सभी n के लिए सामान्य रूप में सत्य होता है। दूसरा संबंध समान तरीके से प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए मैं इसे पाठक के लिए छोड़ दूँगा हा हा!

वितरण के नियमों का सामान्यीकृत रूप

डी मॉर्गन के नियमों के समान, वितरण के नियमों को निम्नलिखित तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लें कि \{F_1, \cdots, F_n\} और \{G_1,\cdots, G_m\} कोई भी दो सीमित अभिव्यक्तियों के समूह हैं, तो निम्नलिखित समानताएँ सत्य होती हैं:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left(\bigwedge_{j=1}^m G_j \right) \right] \equiv \left[\bigwedge_{i=1}^n\left(\bigwedge_{j=1}^m(F_i\vee G_j) \right) \right]

\displaystyle \left[ \left(\bigvee_{i=1}^n F_i \right) \wedge \left(\bigvee_{j=1}^m G_j \right) \right] \equiv \left[\bigvee_{i=1}^n\left(\bigvee_{j=1}^m(F_i\wedge G_j) \right) \right]

प्रमाण: इस प्रमाण को बनाने के लिए हमें n और m पर डबल इंडक्शन करना होगा। सबसे पहले मैं n पर और फिर m पर इंडक्शन करूँगा, ताकि \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left(\bigwedge_{j=1}^m G_j \right) \right] \equiv \left[\bigwedge_{i=1}^n\left(\bigwedge_{j=1}^m(F_i\vee G_j) \right) \right] की अभिव्यक्ति को सिद्ध किया जा सके।

यदि हम m=1, लेते हैं, तो यह अभिव्यक्ति इस प्रकार लिखी जाती है:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left(\bigwedge_{j=1}^1 G_j \right) \right] \equiv \left[\bigwedge_{i=1}^n\left(\bigwedge_{j=1}^1(F_i\vee G_j) \right) \right].

जिसका अर्थ यही है:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee G_1 \right] \equiv \left[\bigwedge_{i=1}^n\left( F_i\vee G_1 \right) \right].

अब हम इसे n. पर इंडक्शन द्वारा सिद्ध करेंगे:

यदि हम n=1, लेते हैं, तो यह अभिव्यक्ति इस प्रकार हो जाती है:

F_1 \vee G_1 \equiv F_1 \vee G_1.

जो कि सत्य है। अब मान लेते हैं कि यह n=k के लिए सत्य है; अर्थात, इंडक्शन की परिकल्पना यह होगी:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^k F_i \right) \vee G_1 \right] \equiv \left[\bigwedge_{i=1}^k\left( F_i\vee G_1 \right) \right].

इससे हम सिद्ध करेंगे कि यह n=k+1. के लिए भी सत्य है।

संयोजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

\displaystyle \left[\left(\bigwedge_{i=1}^{k+1}F_i \right) \vee G_1 \right] := \left[\left(\left(\bigwedge_{i=1}^{k}F_i \right)\wedge F_{k+1} \right) \vee G_1 \right]

अब, \vee-वितरण का उपयोग करके, हम पाते हैं:

\displaystyle \left[\left(\bigwedge_{i=1}^{k+1}F_i \right) \vee G_1 \right] \equiv \left[\left(\left(\bigwedge_{i=1}^{k}F_i \right)\vee G_{1} \right) \wedge \left(F_{k+1} \vee G_1 \right) \right]

और इस बिंदु पर हम इंडक्शन की परिकल्पना का उपयोग करके पाते हैं:

\displaystyle \left[\left(\bigwedge_{i=1}^{k+1}F_i \right) \vee G_1 \right] \equiv \left[\left(\bigwedge_{i=1}^k\left( F_i\vee G_1 \right) \right) \wedge \left(F_{k+1} \vee G_1 \right) \right] := \left[\bigwedge_{i=1}^{k+1}(F_{i}\vee G_1 \right]

इसलिए, हमने सिद्ध कर दिया है कि प्रत्येक n\in\mathbb{N} के लिए यह सत्य है:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right)\vee G_1\right] \equiv \left[\bigwedge_{i=1}^n(F_i\vee G_1)\right]

n पर इंडक्शन को पूरा करते हुए, हमने सिद्ध किया कि यह m=1, के लिए कार्य करता है, और अब हमें m पर इंडक्शन पूरा करना है। ऐसा करने के लिए, हम m=l के लिए इंडक्शन की परिकल्पना स्थापित करते हैं, अर्थात:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left(\bigwedge_{j=1}^l G_j \right) \right] \equiv \left[\bigwedge_{i=1}^n\left(\bigwedge_{j=1}^l(F_i\vee G_j) \right) \right]

और इससे हम सिद्ध करेंगे कि यह m=l+1. के लिए भी सत्य है।

संयोजन की परिभाषा से शुरू करते हुए, हमारे पास है:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left(\bigwedge_{j=1}^{l+1} G_j \right) \right] := \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left(\left(\bigwedge_{j=1}^{l} G_j \right) \wedge G_{l+1}\right) \right]

अब, \vee-वितरण का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left(\bigwedge_{j=1}^{l+1} G_j \right) \right] \equiv \left[ \left( \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left( \bigwedge_{j=1}^l G_j \right) \right) \wedge \left( \left( \bigwedge_{i=1}^n F_i \right)\vee G_{l+1} \right) \right]

इसलिए, इंडक्शन की परिकल्पना का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left(\bigwedge_{j=1}^{l+1} G_j \right) \right] \equiv \left[ \bigwedge_{i=1}^n\left(\bigwedge_{j=1}^l(F_i\vee G_j) \right) \wedge \left( \left( \bigwedge_{i=1}^n F_i \right)\vee G_{l+1} \right) \right]

अब यदि हम n पर इंडक्शन का परिणाम लेते हैं, तो:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left(\bigwedge_{j=1}^{l+1} G_j \right) \right] \equiv \left[ \bigwedge_{i=1}^n\left(\bigwedge_{j=1}^l(F_i\vee G_j) \right) \wedge \left( \bigwedge_{i=1}^n (F_i \vee G_{l+1} )\right) \right]

अंत में, संयोजन की परिभाषा के अनुसार:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left(\bigwedge_{j=1}^{l+1} G_j \right) \right] \equiv \left[ \bigwedge_{i=1}^n\left(\bigwedge_{j=1}^{l+1}(F_i\vee G_j) \right) \right]

इस प्रकार, m पर इंडक्शन पूरा होता है और यह अभिव्यक्ति सत्य होती है:

\displaystyle \left[ \left(\bigwedge_{i=1}^n F_i \right) \vee \left(\bigwedge_{j=1}^{m} G_j \right) \right] \equiv \left[ \bigwedge_{i=1}^n\left(\bigwedge_{j=1}^{m}(F_i\vee G_j) \right) \right]

प्रत्येक n,m\in\mathbb{N} के लिए।

यह इंडक्शन द्वारा प्रमाणों का अध्ययन दर्शाता है कि कैसे कठोर गणितीय प्रमाण तकनीकें न केवल प्राकृतिक संख्याओं के क्षेत्र में बल्कि तर्कशास्त्र में भी लागू की जा सकती हैं। इंडक्शन के माध्यम से, हमने डी मॉर्गन के नियमों और वितरण के नियमों के सामान्यीकृत रूपों की सत्यता स्थापित की है, जो विभिन्न गणितीय ज्ञान क्षेत्रों में अंतर्निहित तार्किक नींवों की समझ को मजबूत करता है। यह दृष्टिकोण न केवल अमूर्त सोच कौशल के विकास के लिए आवश्यक है, बल्कि यह गणित और उससे परे जटिल समस्याओं को हल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण के रूप में भी कार्य करता है।