Variables Aléatoires et Distributions de Probabilités
Résumé
Ce cours fournit une immersion profonde dans les concepts de variables aléatoires et de distributions de probabilité, piliers fondamentaux de la théorie des probabilités et de l’analyse statistique. La définition d’une variable aléatoire comme un nombre dépendant du résultat d’une expérience aléatoire est introduite. La fonction de distribution d’une variable aléatoire est abordée, en soulignant son importance ainsi que ses propriétés essentielles. Enfin, la relation entre les variables aléatoires et les distributions de probabilité est analysée, expliquant que deux variables peuvent avoir la même distribution sans être la même variable aléatoire.
OBJECTIFS D’APPRENTISSAGE:
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :
- Comprendre le concept de variables aléatoires : Les étudiants doivent être capables de décrire et d’expliquer ce que sont les variables aléatoires et comment elles sont définies mathématiquement.
- Comprendre le concept de distributions de probabilité : Les étudiants doivent pouvoir expliquer ce que sont les distributions de probabilité et comment elles sont représentées.
- Décrire les propriétés des distributions de probabilité : Les étudiants doivent être capables de reconnaître et d’expliquer les propriétés clés des distributions de probabilité.
- Analyser la relation entre les variables aléatoires et les distributions de probabilité : Les étudiants doivent pouvoir discuter de la manière dont les variables aléatoires et les distributions de probabilité sont interconnectées, et comment deux variables peuvent avoir la même distribution sans être la même variable aléatoire.
- Démontrer et appliquer les propriétés des distributions de probabilité dans des situations pratiques : Les étudiants doivent être capables de démontrer mathématiquement les propriétés des distributions de probabilité et d’appliquer ces propriétés dans des situations réelles.
- Comprendre le concept de fonctions de distribution : Les étudiants doivent être capables de décrire ce qu’est une fonction de distribution et comment elle est utilisée pour décrire une variable aléatoire.
TABLE DES MATIÈRES:
Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?
Qu’est-ce qu’une distribution de probabilité ?
Propriétés des distributions de probabilité
Relation entre les variables aléatoires et les distributions de probabilités
Un des concepts clés de la théorie des probabilités et de l’analyse statistique est celui des variables aléatoires et des distributions de probabilité. Bien que la théorie que nous avons développée jusqu’à présent soit en un certain sens « complète », la vérité est qu’elle est actuellement assez rudimentaire ; les variables aléatoires et les distributions de probabilité sont, pour ainsi dire, des concepts qui nous permettent de « lisser notre capacité à travailler avec les probabilités et à effectuer des analyses statistiques ».
Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?
Pour nous familiariser avec le concept de variable aléatoire, il est utile de commencer par une approche intuitive : une variable aléatoire peut être interprétée comme « un nombre dépendant du résultat d’une expérience aléatoire ». Cependant, pour une compréhension plus précise, il est essentiel d’explorer également sa définition formelle. Voici cette définition :
Définition : Une variable aléatoire sur un ensemble \mathcal{X} est une fonction f:\Omega \longmapsto \mathcal{X} |
Le cas le plus courant est lorsque \mathcal{X}= \mathbb{R}, et, sauf indication contraire, c’est ce que nous supposerons dorénavant ; c’est-à-dire que nous travaillerons avec des variables aléatoires à valeurs réelles. Généralement, les variables aléatoires sont désignées par des lettres majuscules, telles que X,Y,Z, \cdots,, tandis que les constantes sont désignées par des lettres minuscules. Pour simplifier, nous nous référerons simplement aux variables aléatoires en les appelant « variables ».
Exemple : Supposons que l’on lance un dé à 6 faces deux fois. Alors nous aurons : \Omega_{2d6} = \{(\omega_1, \omega_2)\;|\; \omega_1,\omega_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}\} À partir de cela, nous pouvons définir les variables aléatoires suivantes :
|
Qu’est-ce qu’une distribution de probabilité ?
Définition :Une fonction de distribution (ou « FD ») d’une variable aléatoire X est une fonction F_X: \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R} définie par la relation F_X(x) = P(\{\omega \;|\; X(\omega)\leq x\}), ou plus brièvement : P(X\leq x). |
Généralement, ce qui intéresse d’une variable aléatoire n’est pas tant son expression explicite dans un espace d’échantillonnage \Omega, mais sa fonction de distribution. L’indice X dans F_X peut être omis si le contexte est clair et sans ambiguïté. Il est courant d’utiliser la notation X\sim F pour indiquer que la variable aléatoire X a une fonction de distribution F.
Propriétés des distributions de probabilité
Si F est une distribution de probabilité et a,b sont des nombres réels quelconques, alors les propriétés suivantes seront vérifiées :
(a) a\lt b \longrightarrow [P(a\lt X \leq b) = F(b) - F(a)]
(b) a\lt b \longrightarrow F(a) \leq F(b), c’est-à-dire « F est croissante ».
(c) \displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 et \displaystyle\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0
(d) \displaystyle P(X=x)=\lim_{t\to x^+}F(t) - \lim_{t\to x^-}F(t)
(e) \displaystyle F(x)=\lim_{t\to x^+}F(t)
| DÉMONSTRATION (a) Soient A et B les événements \{X\leq a\} et \{X\leq b\} respectivement, avec a\lt b. Si tout cela se produit, alors il se vérifiera que A\subseteq B et par conséquent, il se produira que \color{blue}{P(a\lt X\leq b)} = P(B\setminus A) = P(B) - P(B\cap A) = P(B)-P(A) =\color{blue}{F(b) - F(a)} (b) De la partie (a), nous avons : Comme P(B\setminus A)\geq 0, nous avons donc que : F(b) - F(a) \geq 0 ce qui est équivalent à dire F(a) \leq F(b) (c) Ici, nous utiliserons le fait que F est monotone croissante (prouvé en (b)) et bornée avec une valeur maximale égale à « 1 » (car la distribution est définie en termes de probabilité). Ce seul fait est suffisant pour dire que \displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 Une approche complémentaire à cela nous permet de faire les calculs suivants avec le même résultat. Définissons l’ensemble A_n=\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}. À partir de cela, il est facile de vérifier que, pour tout n il se vérifiera A_{n}\subseteq A_{n+1}, \displaystyle\bigcup_{n\lt +\infty} A_n = \Omega et par conséquent, en utilisant la propriété de continuité, nous aurons : \displaystyle 1=P(\Omega) = P\left( \bigcup_{n\lt +\infty} A_n \right) = \lim_{n\to +\infty} P(A_n) = \lim_{n\to +\infty} P(\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}) = \lim_{n\to +\infty} P(X\leq n)=\lim_{n\to +\infty}F(n) C’est-à-dire : \displaystyle \color{blue}{\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1} En revanche, pour la limite où x\to -\infty, nous avons ce qui suit : D’abord, définissons l’ensemble B_n=\{\omega\;|\;-n\lt X(\omega)\}. À partir de cela, nous vérifions que : \displaystyle \lim_{n \to -\infty}F(n) = \lim_{n\to -\infty} P(X\leq n) = \lim_{n\to \infty} P(X\leq -n)= 1 - \lim_{n\to \infty} P(-n \lt X) = 1 - \lim_{n\to \infty}P(B_n)) = 1 - P(\Omega) = 1-1=0 (d) Le raisonnement est similaire à la partie (c). Nous commençons par définir l’ensemble \displaystyle C_n = \left\{x - \frac{1}{n} \leq X \leq x + \frac{1}{n}\right\} Et à partir de cela, nous avons que C_{n+1}\subseteq C_n \displaystyle \bigcap_{n\gt 0} C_n = \{X=x\} Par conséquent, en utilisant un résultat de la propriété de continuité, nous avons : \displaystyle P(X=x)=P\left(\bigcap_{n\gt 0} C_n \right) = \lim_{n\to \infty} P(C_n) = \lim_{x+1/n \to x^+}F\left(x+1/n\right) - \lim_{x-1/n \to x^-}F\left(x-1/n\right)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) (e) Ce dernier cas est obtenu à partir du résultat précédent. En effet, comme nous l’avons déjà prouvé \displaystyle P(X=x)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) Nous pouvons écrire \displaystyle \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t\to x^-}P(X\leq t)= P(X\leq x) = F(x) |
Relation entre les variables aléatoires et les distributions de probabilités
On dit que deux variables X et Y ont la même distribution de probabilité si (\forall A\subseteq \mathbb{R})(P(X\in A) = P(Y\in A)).
Deux variables X et Y définies sur le même espace d’échantillonnage \Omega peuvent avoir la même distribution mais ne pas être pour autant la même variable aléatoire. Par exemple, si nous considérons l’expérience de lancer une pièce équilibrée à deux faces et que X=1 correspond à face et X=0 correspond à pile, nous pouvons définir la variable aléatoire Y=1-X et nous aurons que P(X=1) = P(Y=1)=0.5, et que les deux ont la même distribution, mais si nous calculons la probabilité que les deux aient la même valeur, nous aurons P(X=Y)=0