Qu’est-ce qu’une sigma-algèbre ? Définition et exemples

Résumé
Dans ce cours, nous abordons l’importance de la sigma-algèbre dans la théorie des probabilités. La sigma-algèbre est une structure contenant tous les événements mesurables d’un espace d’échantillonnage, permettant de définir une mesure de probabilité. À travers des exemples pratiques, tels que les lancers de pièces de monnaie et la durée de vie d’un appareil électronique, nous expliquons comment la sigma-algèbre est construite à partir des parties de l’espace d’échantillonnage. Nous présentons également la sigma-algèbre de Borel, associée à un espace d’échantillonnage continu, et expliquons ses événements boréliens.

OBJECTIFS D’APPRENTISSAGE :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :

Comprendre la définition et les caractéristiques d’une Sigma-Algèbre, comme structure mathématique permettant de définir une mesure de probabilité.
Identifier les éléments constituant une Sigma-Algèbre et leur relation avec les événements mesurables d’un espace d’échantillonnage.

SOMMAIRE
DÉFINITION D’UNE SIGMA-ALGÈBRE
LA SIGMA-ALGÈBRE DANS LES LANCERS DE PIÈCES
LES SIGMA-ALGÈBRES DANS LES CAS CONTINUS

Les événements mesurables apparaissent dans l’espace des probabilités à travers la sigma-algèbre. Grâce à cette idée, une notion initialement intuitive est transformée en une structure formellement mathématique qui permet de définir une mesure de probabilité.

Définition d’une Sigma-Algèbre

Une Sigma-Algèbre $\Sigma$ (ou σ-algèbre) est une structure qui contient tous les événements mesurables d’un espace d’échantillonnage. On dit que la paire $\Sigma_{\Omega} = (\Omega, \mathcal{A}_{\Omega})$ est une σ-algèbre d’un espace d’échantillonnage $\Omega$ si elle satisfait aux conditions suivantes :

$\emptyset,\Omega \in \mathcal{A}_\Omega$
$\left(E \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E^c = \Omega\setminus E \in \mathcal{A}_\Omega)$
$\left(E_1, E_2 \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E_1 \cup E_2 \in \mathcal{A}_\Omega)$

Tous les objets $E\in\mathcal{A}_\Omega$ sont appelés Événements de $\Omega$ .

La sigma-algèbre dans les lancers de pièces

EXEMPLE 1

Pour le lancer d’une pièce, la σ-algèbre est donnée par

\Sigma_{1m}=(\Omega_{1m}, \mathcal{A}_{1m})

, où

$\Omega_{1m}= \{C,S\}$
$\mathcal{A}_{1m}= \{\emptyset,\{C\},\{S\}, \Omega_{1m}\}$

Chaque élément de $\mathcal{A}_{1m}$ est un événement qui est identifié de la manière suivante :

$\emptyset$ « Ni face ni pile » (c’est l’événement impossible).
$\{C\}$ « C’est l’événement où la face apparaît ».
$\{S\}$ « C’est l’événement où le pile apparaît ».
$\Omega_{1m}= \{C,S\}$ « Soit la face soit le pile apparaît » (c’est l’événement certain).

EXEMPLE 2

Si au lieu d’une, nous lançons deux pièces, une possible σ-algèbre

\Sigma_{2m}=(\Omega_{2m}, \mathcal{A}_{2m})

peut être obtenue à partir des parties de

\Omega_{2m}

. Ainsi nous avons :

$\Omega_{2m}= \{(C,C);(C,S); (S,C); (S,S)\}$
$\mathcal{A}_{2m}=\mathcal{P}(\Omega_{2m}) = \cdots$ $\cdots = \{\emptyset; \{(C,C)\}; \left\{(C,S)\}; \{(S,C)\}; \{(S,S)\}; \cdots \right.$ $\cdots; \{(C,C);(C,S)\};\{(C,C);(S,C)\};\{(C,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,S);(S,C)\};\{(C,S);(S,S)\};\{(S,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,C);(C,S);(S,C)\};\{(C,C);(C,S);(S,S)\}\cdots$ $\left.\cdots; \{(C,C);(S,C);(S,S)\}; \{(C,S);(S,C);(S,S)\}; \Omega_{2m}\right\}$

Chaque élément de $\mathcal{A}_{2m}$ est un événement de $\Omega_{2m}$ . Voici quelques-uns d’entre eux :

$\emptyset$ « Aucun résultat obtenu » (c’est l’événement impossible).
$\{(C,C)\}$ « La face apparaît deux fois de suite ».
$\{(C,S)\}$ « La face apparaît d’abord, puis le pile ».
$\vdots$
$\{(C,C);(C,S)\}$ « Le premier est la face, le second peut être n’importe quoi ».
$\{(C,C);(S,C)\}$ « Le premier peut être n’importe quoi, le second est la face ».
$\{(C,C);(S,S)\}$ « Les deux lancers donnent le même résultat ».
$\vdots$
$\{(C,C);(C,S);(S,S)\}$ « Si le premier est le pile, le second est aussi le pile, sinon le second peut être n’importe quoi ».
$\{(C,C);(S,C);(S,S)\}$ « Si le premier est la face, le second est aussi la face, sinon le second peut être n’importe quoi ».
$\vdots$
$\Omega_{2m}$ « N’importe quel résultat est obtenu » (événement certain).

Les sigma-algèbres dans les cas continus

EXEMPLE 3

Pour la durée de vie (mesurée en heures) d’un appareil électronique qui pourrait se détériorer à tout moment, la σ-algèbre

\Sigma_e = (\Omega_e, \mathcal{A}_e)

est définie par

$\Omega_e = [0, \infty[$
$\mathcal{A}_e = \{I \; | \; I \subseteq \Omega_e \}$

Ainsi, les intervalles $I_t = ]0,t[\in\mathcal{A}_e$ peuvent être interprétés comme « l’appareil électronique fonctionne correctement pendant une durée de $t$ heures consécutives jusqu’à ce qu’il tombe en panne.

La sigma-algèbre de probabilités associée à un espace d’échantillonnage continu est également connue sous le nom de σ-algèbre de Borel, et ses événements sont appelés boréliens.

Qu’est-ce qu’une sigma-algèbre ? Définitions et Exemples

Qu’est-ce qu’une sigma-algèbre ? Définition et exemples

Définition d’une Sigma-Algèbre

La sigma-algèbre dans les lancers de pièces

Les sigma-algèbres dans les cas continus

Laisser un commentaire