Idées de Base

Pour commencer notre étude sur la Théorie des Probabilités, nous devons d’abord explorer la connexion qui existe entre les processus déterministes et indéterministes et leur relation avec les probabilités et le hasard. Les processus qui se produisent dans la nature sont classifiés en deux espèces mutuellement exclusives : ou bien ils sont déterministes ou bien indéterministes. Un processus déterministe est celui qui, étant données des conditions initiales, conduit toujours aux mêmes résultats. D’autre part, un processus est indéterministe quand, pour les mêmes conditions initiales, il peut fournir une multiplicité de résultats possibles. Ces résultats possibles, qu’ils soient uniques ou multiples, sont également connus comme états. À leur tour, on tente de comprendre les processus à travers des modèles, et ceux-ci sont, de manière analogue, déterministes ou indéterministes.

C’est dans le contexte des processus indéterministes que l’étude des probabilités émerge. C’est une science formelle (comme la logique) avec laquelle nous pouvons extraire des informations sur la fréquence à laquelle un processus indéterministe tend à produire un certain état ou ensemble d’états.

Processus Déterministes et Indéterministes dans la Nature

Supposons que nous voulons modéliser le processus de lancement d’un projectile. Si nous sommes dans un environnement contrôlé, la mécanique de Newton nous indique que pour chaque vitesse et position initiale, le projectile aura un lieu déterminé comme point d’impact, ce qui représente un modèle déterministe de la réalité. Cependant, dans la vie réelle, les environnements absolument contrôlés n’existent pas, et ce que nous verrons est que le projectile tend à tomber dans une certaine région, ce qui implique une multiplicité d’états possibles.

Il est généralement dit que nos limitations pour contrôler et mesurer à la fois l’environnement et les conditions initiales ne nous permettent pas de déterminer les états finaux d’un système, ce qui nous oblige à faire face à une multiplicité d’entre eux et à des modèles non déterministes. Au fur et à mesure qu’un processus gagne en complexité, il en va de même pour le manque de contrôle sur l’environnement et les conditions initiales.

Les probabilités et le hasard

Le hasard est une caractéristique inhérente aux processus indéterministes. Un processus est dit aléatoire ou hasardeux lorsque, pour un certain ensemble de conditions initiales, aucun des états possibles ne semble se produire plus fréquemment que les autres. L’exemple le plus simple est le lancement d’une pièce de monnaie. À mesure que le nombre de lancers augmente, on observe que la fréquence d’apparition des faces et des piles tend à être similaire. En d’autres termes :

\displaystyle \lim_{N\to \infty} \dfrac{C}{N} = \lim_{N\to \infty} \dfrac{S}{N} = \dfrac{1}{2}

où N est le nombre total de lancers, C et S sont le nombre de faces et de piles obtenus parmi les lancers N.

Ce nombre est la probabilité d’obtenir face ou pile, et sa compréhension est obtenue en analysant les expériences aux résultats équiprobables. Cela est l’essence des processus déterministes et indéterministes et leur relation avec les probabilités et le hasard.