Bien que les opérations avec les nombres naturels soient connues, il est nécessaire de synthétiser cette connaissance en utilisant une approche « un peu plus mathématique ». Pour cette raison, nous réviserons les opérations d’addition, de multiplication et de puissance des nombres naturels et leurs propriétés.

L’origine des Opérations de Base des Nombres Naturels

Opération d’Addition

Le germe de l’opération d’addition a été examiné dans le cours sur Les Nombres Naturels et les Axiomes de Peano, car le successeur d’un naturel peut également être présenté ainsi :

S(n) = n+1

Comme nous l’avons dit, 2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \cdots et ainsi de suite, alors nous pouvons interpréter l’addition comme l’application successive de l’opération de succession.

n+1 =S(n),

n+2 =S(S(n)),

n+3 =S(S(S(n))),

\vdots

Et en général :

n+m = \underbrace{S(S(\cdots S(}_{m\;fois} n)\cdots))

Propriétés de l’Addition

Si a,b,c\in\mathbb{N}, alors à partir de cela nous pouvons obtenir les propriétés de l’addition que nous connaissons tous :

Toutes ces propriétés peuvent être démontrées par induction mais nous allons sauter ce travail. Cependant, je vous encourage à essayer cela comme un moyen de pratiquer la technique d’induction.

Opération de Multiplication

De manière similaire, le produit de nombres naturels est défini comme une application successive de l’addition. Nous avons donc

n\cdot m = \underbrace{n+ n+ \cdots + n}_{m\;fois}

Propriétés du Produit

Et de manière analogue on peut obtenir ses propriétés

Et en outre, à partir de la définition du produit, le « 1 » des naturels acquiert la qualité qui le transforme en unité :

Somme et Produit Combinés

Lorsque les opérations de somme et de produit sont combinées, on obtient la propriété de distribution de la somme par rapport à la multiplication

L’ordre Induit par les Opérations des Nombres Naturels

Depuis les opérations d’addition et de multiplication que nous avons examinées, une relation d’ordre est induite chez les naturels à travers les définitions suivantes :

Propriétés de l’Ordre dans les Nombres Naturels

Loi de Trichotomie

À partir de cela, il se trouve que seulement l’une des trois situations suivantes peut se produire :

1. a\lt b
2. a = b
3. a\gt b

Si cela arrivait que, par exemple a n’est pas inférieur à b, alors il faudrait qu’une des deux se produise : soit a=b, soit a\gt b, c’est-à-dire plus grand ou égal, et on écrirait : a\geq b. Et de manière analogue on écrit a\leq b. lorsque c’est inférieur ou égal.

Propriété Transitive

Si a,b et c sont des naturels quelconques, alors il est vrai que :

[(a\lt b) \wedge (b\lt c)] \rightarrow (a\lt c)

Et de manière analogue :

[(a\gt b) \wedge (b\gt c)] \rightarrow (a\gt c)

Propriété de Monotonie

Il existe une propriété de monotonie à la fois pour l’addition et pour la multiplication, elle est la suivante :

Opérations Inverses : Soustraction et Division des Nombres Naturels

Soustraction des Nombres Naturels

Si a,b,c\in\mathbb{N}, nous disons que la différence entre a et b (dans cet ordre), écrite a-b, est définie par la relation

a-b=c \leftrightarrow a= b+c

Comme nous pouvons le voir, cette relation sera vraie seulement si a\gt b, car il n’existe pas de c\in \mathbb{N} avec lequel cette relation puisse être satisfaite si a\leq b.

À travers la définition de la soustraction, nous avons la règle connue de « ce qui est ajouté d’un côté de l’égalité peut passer de l’autre côté en soustrayant, et vice versa ».

Division des Nombres Naturels

Si a,b,c\in\mathbb{N}, nous disons que la division entre a et b (dans cet ordre), écrite a/b, est définie par la relation

a/b=c \leftrightarrow a= bc

De la définition de la division, nous avons la règle de « ce qui multiplie d’un côté de l’égalité peut passer de l’autre côté en divisant, et vice versa ».

Tout comme pour que la soustraction a - b existe, il faut que a\gt b, pour que la division a/b existe, il est nécessaire que a soit « divisible » par b. Cela est représenté par l’écriture

a est divisible par b \; :=a|b \; := \; (\exists k \in \mathbb{N})(a = kb)

Puissances des Nombres Naturels

Avec les nombres naturels, on peut définir les puissances. Élever un naturel b, que nous appelons la base, à un autre naturel n, que nous appelons l’exposant, signifie multiplier b par lui-même n fois. Ainsi

b^n = \underbrace{bb\cdots b}_{n\;fois}

Si a,b,n,m\in\mathbb{N}, par induction (double) on peut démontrer les propriétés suivantes :

1. \displaystyle b^nb^m=b^{n+m}
2. \displaystyle \frac{b^n}{b^m} = b^{n-m}, à condition que n\lt m
3. \displaystyle (ab)^n=a^nb^n
4. \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
5. \displaystyle (b^n)^m=b^{nm}

Problèmes Proposés et Résolus

1. Toutes les propriétés présentées ici peuvent être démontrées en utilisant l’induction mathématique (simple ou double), mais je ne les ai pas développées car la démonstration résultante serait inutilement longue pour ces résultats si intuitifs. Cependant, ceux qui suivent ces cours peuvent essayer de réaliser ces démonstrations comme exercice. [Uniquement proposé]
2. Est-ce la même chose b^{n^m} (qui est défini comme b^{(n^m)}) que (b^n)^m? [Solution]
3. En utilisant les propriétés vues, vérifiez les égalités :
   a) (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd [Solution]
   
   b) (a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd,; si c\gt d [Solution]
   
   c) (a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd,; si a\gt b, c\gt d [Solution] 
4. Démontrez que
   
   a) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [Solution]
   
   b) (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2; si c\gt d [Solution]
   
   c) (a+b)(a-b) = a^2-b^2; si c\gt d [Solution]
   
   d) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 [Solution]
   
   e) (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3; si c\gt d [Solution]

    

5. Démontrez par induction complète les propriétés suivantes :
   
   a) 1+2+3+4+\cdots+n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} [Solution]
   
   b) 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [Solution]
   
   c) 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3 = \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} [Solution]